Herrnhuter Stern

Herrnhuter Stern

Wenn die Weihnachtsdeko erst einmal hängt und eine heimelige Atmosphäre verbreitet, ist Zeit für ein paar Weihnachtsplätzchen oder ein Stück Stollen oder für ein paar Gedanken über deren (der Deko, nicht der Plätzchen) Geometrie.

Es sind genau 3 Parameter, die die konkrete Form des Herrnhuter Sterns charakterisieren: der Radius r der „inneren Kugel“ (quasi das Grundgerüst), der Durchmesser DQ, der über entgegengesetzt liegende quadratische Pyramiden hinweg festgelegt ist, und der Durchmesser DD, den diametrale dreieckige Pyramiden bestimmen. Von den quadratischen Pyramiden zieren 18 das Äußere des Sterns, von den dreieckigen sind es 8.
Entfernt man von der „inneren Kugel“ 26 Kugelkappen auf die richtige Weise, entsteht anstelle des Äquators ein Band von 8 aneinanderhängenden Quadraten der Seitenlänge a. Hatte die „innere Kugel“ den Radius r, ergibt sich der Zusammenhang:

(Idealannahme: kein Materialverlust)

Auch der „0° Längenkreis“ und der „90° Längenkreis“ sind Bänder aus jeweils 8 Quadraten der Seitenlänge a. Wo die Längenkreise die größten Abstände haben (viermal auf der „Nordhalbkugel“ und viermal auf der „Südhalbkugel“), verbleiben anstelle der Kugelkappen gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge a. Über diesen 18 Quadraten und 8 Dreiecken sind regelmäßige Pyramiden (jeweils gleicher Bauart) errichtet. Sie haben die Höhen hQ (Quadrat) und hD (Dreieck). Die Abb. zeigt ein paar Zusammenhänge:

Mit diesen Zusammenhängen lassen sich Volumen V und Oberfläche M des Gesamtgebildes berechnen:
Interessanterweise findet man, obwohl das Objekt mit der Marke „original“ geschmückt ist, unterschiedliche Bauformen des Herrnhuter Sterns. Manchmal liegen alle Pyramidenspitzen auf einer umschreibenden Kugel (DQ = DD). Manchmal sind die Proportionen angeglichen: der „Öffnungswinkel“ der dreieckigen Pyramiden entspricht dem der (größeren) quadratischen. Wahrscheinlich ist das Original aber durch

charakterisiert. Durch diese Bedingung liegt die Spitze der Dreieckspyramide genau in der Ebene, die durch die 3 unmittelbar benachbarten quadratischen Pyramiden definiert ist. Und, wie es der Zufall will, der Abstand der Spitzen zweier dieser Quadratpyramiden ist gerade ½ DQ.
So, jetzt habe ich mir wirklich ein paar Weihnachtsplätzchen verdient.  *grins*

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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6 Antworten zu Herrnhuter Stern

  1. Inch schreibt:

    Hatte ich schon mal erwähnt, dass ich, Tochter eines Mathematikers und Mutter eines mathematisch begabten Kindes, das es sogar auf eine Spezialschule schaffte, so gar nichts von Mathematik verstehe? So schaue ich mir solche Einträge immer wieder fasziniert an, bewundere die geometrischen Formen und die Schönheit der Formeln und frage mich neidisch, wie Gehirne funktionieren, die mit sowas jonglieren können wie ich mit Genen und Allelen. Doch dann sehe ich meinen Vater und mein eines begabtes Kind, ich sehe, wie sie miteinander kommunizieren und glücklich sind, jemanden in der Familie zu haben, mit dem sie überhaupt kommunizieren können, ohne sich auf das Level Normalsterblicher herablassen zu müssen, was beide sehr anstrengend finden, fällt es ihnen doch trotz aller Anstrengung schwer, sich verständlich auszudrücken… und dann bin ich nicht mehr neidisch.
    Trotzdem schaue ich mir diese Art Blogeinträge gerne an. Das meine ich kein bißchen ironisch

  2. Yeti schreibt:

    Das ist also sozusagen die „Quadratur des Kreises“, bzw. die „Pyramidisierung der Kugel“, wenn ich das richtig verstehe.

    Aber ich gebe Inch recht, wenn Sie vor allem die Schönheit bestaunt………….

    • sinnsucht schreibt:

      „Pyramidisierung der Kugel“! Wow, damit dürftest Du heiße Anwärterin bzw. heißer Anwärter auf die cleverste Kommentierung der Woche sein 😉
      Und ich stimme mit Euch beiden darin überein, daß vor allem die Schönheit im Mittelpunkt steht, weil sie es ist, die uns Herz & Seele erfreut…

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