Gravitationskonstante

Gravitation_Waage2

Berliner Zeitung (30.01.2015, Seite12)

Am 30. Januar 2015 berichtete F. Grotelüschen in der Berliner Zeitung von den Schwierigkeiten bei der genauen Bestimmung des Wertes der Gravitationskonstanten (G bzw. γ). Die Gravi­tationskraft ist zwar allgegenwärtig und hält gewissermaßen das gesamte Universum zusammen, aber zwischen Gerätschaften, die in Labors handhabbar sind, ist ihre Auswirkung verschwindend klein. Auch das ist ein Grund, weshalb die Ungenauigkeit bei der Bestimmung exakter Meßwerte seit dem Ende des 18. Jh. kaum deutlich verringert werden konnte. Seinerzeit stellte H. Cavendish erste Versuche mit einer Gravitationswaage an und konnte schließlich G recht genau abschätzen (wobei ‚genau‘ sich im Rahmen der Besonderheiten derartigen Messungen relativiert).
Durch Nachahmung und Verfeinerung der Meßapparaturen konnte der G-Wert zwar nachvollzogen, seine Genauigkeit aber kaum verbessert werden. Interessanterweise werden mögliche Ursachen der irgendwie unerklärlichen Abweichungen der einzelnen Experimente nicht gebührend gewürdigt, lieber (siehe obigen Zeitungsausschnitt) wird mit immer größeren Kanonen auf das winzige G-„Spatze” geschossen. Dabei ist es m. E. kaum möglich, die Wirkungen der diversen Wechselwirkungskomponenten (Quanteneffekte an Rubidiumatomen und Laserlichtbündeln, Wechselwirkungen zwischen Atomen und mit der ummantelnden Hülle, Gravitationsfeld der Wolframgewichte etc.) rechnerisch sauber zu trennen. Denn zumindest den Einfluß, den die Form der gravitationserzeugenden Masse (½ t Wolfram) hat, ist eben nicht genau genug bekannt; auch danach soll ja mit dem Experiment die Natur befragt werden. Bei Cavendish – der Link zum entsprechenden Wiki-Artikel ist oben angegeben – ist es noch einfach. Die Gravitationskraft wird mit der seit Newton bekannten Formel berechnet, als ob ausgedehnte Körper Massepunkte seien. Sind sie aber nicht! Folglich steckt die Unsicherheit nur zum Teil in der Winzigkeit der zu ermittelnden Größen. Einen kaum geringeren Anteil tragen aber wahrscheinlich recht grobe Modellannahmen bei. Die nachfolgende Abbildung zeigt Gravitation_Waage4einen quaderförmigen Körper mit quadratischer Grundfläche, der zehnmal so lang wie breit ist. Entweder in Längsrichtung oder quer dazu befindet sich ein Würfel mit gleicher Kantenlänge wie die Grundfläche des Quaders; die entsprechenden Kanten sind hübsch parallel, der Abstand der Mittelpunkte von Würfel und Quader ist bei beiden räumlichen Anordnungen gleich. Beträgt der „lichte Abstand” zwischen Würfel und Quader bei der Längsanordnung 5 % von a, ergibt sich für den Abstand der Massenmittelpunkte A = 5.55 · a. Damit ist aber die Gravitationskraft bei dieser Anordnung mit dem Faktor κl = 4.2378 größer, als es die Newtonsche Massenmittelpunktsformel erwarten läßt; bei der Queranordnung ist sie mit dem Faktor κq = 0.7438 kleiner. Die quadratischen Querschnitte wurden – soviel Bequemlichkeit muß (zumindest hier in Blogistan) sein! – deshalb gewählt, weil sich die für die Berechnung erforderlichen Integrale recht leicht auswerten lassen. Mit den Informationen über die Eigenart der Gravitationsfelder ausgedehnter Körper läßt sich Cavendish’s Experiment für Meßergebnisse mit deutlich höherer Genauigkeit modifizieren: Gravitation_Waage1Der Drehbalken wird nicht mehr durch zwei massereiche Kugeln, sondern durch 4 Massestäbe beeinflußt. Jeweils zwei sind im Abstand LB um 90° verdreht rechtwinklig zu ihrem Verbindungsstab angeordnet. Die Massestäbe jeweils am selben Ende des Drehbalkens sind orthogonal zueinander angeordnet: entweder senkrecht–waagerecht oder waagerecht–senkrecht. Da die Apparatur weitgehend symmetrisch ist, reduziert sich die Gravitationswirkung recht genau auf die für das Experiment erforderlichen Manipulationen an den Massestäben, die je nach ihrer Anordnung den Drehbalken zur einen Seite (schwarz skizzierte Anordnung der 4 „Stäbe”) oder zu anderen Seite (grau skizziert Anordnung) verdrehen. Wären m1 und m2 Punktmassen und die 4 Massestäbe linear aus Massepunkten – Betonung jeweils auf ‚Punkt‘ – zusammengesetzt, müßte mit den in der Abbildung gezeigten Korrekturfaktoren gerechnet werden – der Rest ist cavendish’sche Auswertung.
Gravitation_Waage3Bliebe noch die Frage, unter welchen Umständen die Newton-Formel verwendet werden darf, wenn die Gravitationskraft zwischen ausgedehnten felderzeugenden Massen wirkt. Die Untersuchung ist für zwei Würfel (analog zur 2. Abb. von oben) vorgenommen worden (bei Würfeln unterscheidet sich die Quer-Variante nicht von der Anordnung in Längsrichtung). Die Abbildung zeigt den Wert des Korrekturterms κ abhängig vom Verhältnis „Abstand ÷ a”, wobei mit ‚Abstand‘ die Distanz der beiden Massenmittelpunkte und mit ‚a‘ die Kantenlänge beider Würfel gemeint ist. Etwa beim Wert „Abstand ÷ a = 5”  (die Abzisse ist logarithmisch geteilt) ist κ → 1. Ähnlich liegen die Verhältnisse bei Kugeln (anstelle von Würfeln): ist der Abstand der Kugelmittelpunkte mindestens das Fünffache des Kugeldurchmessers (die ‚lichte Weite‘ zwischen den Kugeln also das Vierfache), liefert die Modellierung der Gewichtskraft mit der Newton-Formel schon recht genaue Werte. Beispielsweise ist der „Erde-Mond”-Abstand etwa das 30-fache der Erddurchmessers, d.h. die Punktmassen-Annahme ist sicher zulässig.

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10 Antworten zu Gravitationskonstante

  1. YDU schreibt:

    Das ist ja alles recht und schön, aber ohne korrekte Bestimmung des G-Punktes wird das alles nix! Ob dieser mit der Newtonschen Formel berechnet werden kann ich dir aber auf die Schnelle nicht beantworten … 😉

    • ausgesucht schreibt:

      Sagen wir’s kurz: ein Hoch auf die Empirie! 😀

      • YDU schreibt:

        Jetzt sag bloß, der G-Punkt entzieht sich den diversen Formeln und wir müssen doch wieder Hand anlegen, um ein Ergebnis zu bekommen! Ist das nicht erschütternd? 😉

        • ausgesucht schreibt:

          … nicht unbedingt die Hand ist es, die zum Behuf der Empirie angelegt sein sollte. 🙂

          • YDU schreibt:

            Ich hätte ja zum Ahuf vorgezogen, muss mich jedoch gerade mit dem Behuf zufrieden geben, wie das Leben eben so spielt … 😉

            • ausgesucht schreibt:

              … was für ein Glück, daß wir nicht bis zum C-Huf vorgedrungen sind – so ein Zeh wird am harten Hufeisen nämlich arg gedrückt. 😉

              • YDU schreibt:

                Tja, da merkt man den steten Qualitätsabfall, der mit jedem weiteren Buchstaben bis zum blanken Chaos führt! 😉

              • ausgesucht schreibt:

                … na, zumindest ist shuf ein Höhepunkt in diesem abwärts gerichteten Qualitätssog 😉

              • YDU schreibt:

                He, das ist ja cool! Warum bin ich nicht darauf gekommen? Sohnemann würde vermutlich verstohlen grinsen und dann käme eine Ansage in der Art: So ein Matchball wäre dir früher nie entgangen, ich will ja nichts sagen, aber kann es sein, dass man zwischen 60 und siebzig langsam in die Knie geht … 😉

              • ausgesucht schreibt:

                NEIN!!! Kann NICHT! 🙂

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