Mathematik der Gerechtigkeit

Beim Verfassen des Artikels Formel der Fairness dämmerte ganz sanft in einer der vorletzten Hirnwindungen die Erinnerung an einen Artikel herauf, der in einer Ausgabe der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft (konkret: März 2004, Seiten 90 bis 97) abgedruckt ist. Dort stellt Prof. Michel L. Balinski im Artikel „Die Mathematik der Gerechtigkeit” zwei Arten gegenüber, wie ein Gut gerecht unter konkurrierenden Interessenten aufgeteilt werden sollte; die eine Art geht auf Aristoteles zurück, die andere auf den Talmud. Spannend sind solche Teilungsvorschriften, wenn ein geringeres Gut zur Verfügung steht als an „Bezugsrechten” beansprucht wird.
Ausgangsbeispiel ist eine Teilung unter zwei Interessenten, die sich um einen Mantel streiten. Aus dem babylonischen Talmud (speziell aus dem „Baba Meçia”-Traktat) stammen zwei Teilungsregeln:

  • Beanspruchen beide gleichermaßen den ganzen Mantel, so bekommen beide jeweils eine Hälfte.
  • Beansprucht der eine (z. B. als Besitzer) den ganzen, der andere aber (z. B. als Finder) den halben Mantel, so bekommt der eine ¾ und der andere ¼ vom Mantel.

Die erstgenannte Teilungsregel kommt uns bekannt vor: die Anteile werden proportional zu den Ansprüchen zugeteilt, also mit den Anteilsfaktoren a/(a+b) und b/(a+b). Im Beispiel von a = b = 1 bekommt also ein jeder einen „1/(1+1) = ½”-Anteil. Dieses Proportionalitätsedikt geht auf Aristoteles (*384 v. Chr., †322 v. Chr.) zurück. Mit diesem Ansatz ergeben sich im 2. Fall (a=1, b=½) andere Anteile als bei der „talmudischen” Teilung, nämlich ⅔ und ⅓ anstelle von ¾ und ¼. Die Abbildung stellt beide Teilungsregeln gegenüber:Teilung_1Auf den ersten Blick mag einem die „talmudische” Teilung ungewohnt vorkommen, zumal wenn man an die proportionale Teilung nach Aristoteles gewöhnt sein mag, aber da beide Parteien ihre Forderungen um denselben Wert (hier: ½ Δ) zurückstecken müssen, weht ein Hauch von Fairness durch die Seiten mit den mathematischen Beschreibungen. Praktikabel ist ein solcher Ansatz aber erst, wenn die Teilung konsistent ist (Prof. Balinski verwendet den Begriff „kohärent”). Soll heißen: man sollte erwarten dürfen, daß das Ergebnis nicht davon abhängt, wie bestehende Ansprüche in Teilansprüche zerlegt werden. Welche Anteile würden etwa die beiden Kontrahenten zugesprochen bekommen, wenn der eine anstelle des ganzen Mantels beispielsweise die Summe von 0,2 und 0,8 Anteilen beanspruchen würde? Da bei der „talmudischen” Teilung zwischen den Zeilen A (hier ‚Anspruch‘ genannt) und F (hier ‚Forderung‘ genannt) Unterschiede bestehen können, da nicht mehr gefordert werden können soll als insgesamt verfügbar ist, ist zur Beantwortung der Frage eine dreiteilige Fallunterscheidung erforderlich: Teilung_2Die Idee ist, daß die Teilung in zwei Schritten erfolgt. Im ersten Schritt werden die Ansprüche aus der Tranche „a-faches des Mantels” und „½ Mantel” zusammengefaßt und gegen den Anspruch „’1-a‘-faches des Mantels” gestellt. Im zweiten Schritt wird das zugewiesene Gut der ersten Teilung nach talmudischer Vorschrift mit den Ansprüchen „a” und „½” geteilt. Für kleine Werte von a (0 < a ≤ ¼) und für große Werte (½ < a ≤ 1) hängt der Anteil, den derjenige zugesprochen bekommt, der der ganzen Mantel beansprucht, empfindlich davon ab, wie er seinen Anspruch (= 1 Mantel) willkürlich in Teilansprüche zerlegt. Das ist unangenehm und sollte nicht unter dem Rubrum „Konsistenz” abgelegt sein. Im übrigen liefern nur die Fälle a = 0 und a = 1 (d. h. der „1 Mantel”-Anspruch wird nicht in Teilforderungen „a” und „1-a” zerlegt) die eingangs genannte (talmudische) Teilungsregel: ¾ und ¼ vom Mantel.
Teilung_3Die gleiche Fragestellung sieht bei proportionaler Zuteilung der Ansprüche (also nach Aristoteles) deutlich „freundlicher” aus. Unabhängig davon, wie der Anspruch „1 Mantel” in Teilansprüche zerlegt wird, erhält derjenige mit dem Anspruch „1 Mantel” zwei Drittel und der mit dem Anspruch „½ Mantel” ein Drittel des Mantels (vgl. nebenstehende Abb.).

Aber nicht nur die Teilung unter zwei Konkurrenten birgt unangenehme Überraschungen, auch die Teilung unter dreien zeigt Auffälligkeiten. Im oben genannten Artikel wird ein Beispiel diskutiert, bei dem ein verfügbares Gut von 200 Einheiten auf drei Ansprüche im Umfang von 300, 200 und 100 Einheiten aufzuteilen ist. Die talmudische Teilung_4Teilungsvorschrift liefert ein Resultat, das mit den Ansprüchen keine Ähnlichkeit hat, nicht einmal näherungsweise (die Kennzeichnung der Zeilen entspricht der obersten Abb.). Noch verwirrender ist, daß das Resultat davon abhängt, wie die drei Ansprüche in Zweiergruppen aufgeteilt werden. Faßt man im ersten Teilungsschritt die beiden Ansprüche „300 und 200 Einheiten” zusammen, die gegen den „100 Einheiten”-Anspruch gewertet werden, ergeben sich die Anteile 75, 75 und 50 Einheiten (vgl. Abb.).
Bei „200 + 100” gegen 300 Einheiten werden 100, 50 und 50 Anteile zugesprochen. Kurios wird es allerdings, wenn „300 + 100” mit 200 Einheiten konkurrieren. Dann lautet die Aufteilung nämlich „300 → 50”, „200 → 100” und „100 → 50”, d. h. der mit dem höchsten Anspruch bekommt so viel wie der mit dem geringsten Anspruch und weniger als der mit dem mittleren Anspruch. Selbst wenn es kohärent wäre, ‚gerecht‘, wie im Artikel vollmundig behauptet, ist das wohl auf keinen Fall. Denn es ist eben nicht so, daß beide Teilungskonkurrenten jeweils den gleichen Abstrich (nämlich -½ Δ) an ihren Erwartungen hinnehmen müßten, da diejenigen mit dem höheren Anspruch den ersten „Verlust” unter Umständen schon bei der Kappung hinnehmen müssen, die dadurch entsteht, daß keine Forderung höher als das zur Teilung stehende Gut sein darf.
Stellt man die Kappung mit in Rechnung, darf der Faktor in -½ Δ, mit dem die Forderungen korrigiert werden, nicht mehr ½ sein:Teilung_5Jeder einzelne Teilungsschritt hat einen eigenen Korrekturfaktor (k1, k2, l1, l2, m1, m2); es gibt 6 solcher Faktoren, da es 3 Kombinationen gibt, wie die 3 Ansprüche in ein Teilungsproblem mit zwei Konkurrenten aufgeteilt werden können. Konsistenz läßt sich erzwingen, indem die pro Anspruch zugewiesenen Anteile bei jedem der drei unterschiedlichen Teilungsstränge gleichgesetzt werden. Das mathematische Problem ist nicht eindeutig lösbar. Es gibt vier Typen von Lösungen: Anteil1 = Anteil2 > Anteil3 und Anteil1 > Anteil2 = Anteil3 (diese sind alle ∞ mannigfaltig) und Anteil1 > Anteil2 > Anteil3 (diese sind 2·∞ mannigfaltig) sowie auch die eindeutige Aufteilung Anteil1 = Anteil2 = Anteil3 = 200/3. Die „Nebenbedingung”, daß die Teilung konsistent zu sein habe, führt zu keiner eindeutigen Teilungsvorschrift. Es lassen sich konsistente Teilungen für „beliebige” Anteilsresultate finden.
Interessant ist eine Teilungsvorschrift, die genau den beiden Forderungen genügt: a) konsistente Teilung und b) die Standardabweichung der 6 Korrekturfaktoren (k1, k2, … m2) soll minimal sein. Die Lösung lautet: {k1=⅓, k2=0.4, l1=⅓, l2=⅓, m1=0.5, m2=⅓} – und das ergibt exakt die proportionale Anteilsgewichtung nach Aristoteles. Mithin ist die proportionale Teilung eine Teillösung der „talmudischen” Teilungsvorschrift, nämlich: Anteil1 = 100, Anteil2 = 200/3 und Anteil3 = 100/3.
Kurz: Was nützt eine Teilung, die entweder nicht eindeutig oder weder konsistent noch gerecht ist?! Und noch eine Frage: Was tue ich hier eigentlich?! :mrgreen:

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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6 Antworten zu Mathematik der Gerechtigkeit

  1. lawgunsandfreedom schreibt:

    Kurz: Was nützt eine Teilung, die entweder nicht eindeutig oder weder konsistent noch gerecht ist?! Und noch eine Frage: Was tue ich hier eigentlich?!

    Das nennt man „hirnwichsen“ und kann im einen Extrem in die Gummizelle, im anderen Extrem zu einem ig-Nobelpreis führen. 😀

  2. YDU schreibt:

    Uff …, ich hole mir jetzt einmal eine Tasse Kaffee und falls irgendjemand auch nur auf die Idee kommt, dass ich sie teilen würde, dann wird er meine Teilungsmethode kennen lernen … 😉

    • ausgesucht schreibt:

      … glaub mir, eine Tasse wird nicht reichen! Mach schon mal die Kettensäge scharf (von wegen „meine Teilungsmethode” und so) 😉

      • YDU schreibt:

        Du hast es bereits geahnt, wie ich zu teilen gedenke! Nun, wird aber erst mal der Koffeinspiegel auf Minimum gebracht, danach wird geteilt und zwar nach meinen Regeln … 😉

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