Roulette „2/3-Gesetz”

Es gibt schon putzige Zufälle: da schreibt mir tom174, daß sich für Job-Suchende in der Spielindustrie durchaus Möglichkeiten auftun könnten (siehe hier), und beinahe zeitgleich bittet mich ein Kumpel, der gerade ein Projekt in der Spielindustrie zum Starten bringen möchte, um Hilfe bei der Bewältigung einiger statistischer Fragestellungen. Unweigerlich stolpert man dann beim Nachlesen zu einzelnen Typen von Wahrscheinlichkeiten mehr oder weniger bald über die Poisson-Verteilung. Und prompt stößt man auf – wie sollte man es diplomatisch bezeichnen? – grob fahrlässige Anmerkungen zu verstreuten Reiskörnern oder zum „2/3-Gesetz” beim Roulette.
Zum „2/3-Gesetz” beim Roulette gibt es verschiedene Formulierungen. Meistens geht es um die Beobachtung, daß nach 37 Läufen der Kugel durch die Roulette-Trommel ein Drittel der Zahlen (also rund 12) nicht gezogen wurden, dafür aber (zwangsläufig) einige Zahlen mehrfach. Zur Begründung wird das Poisson-Gesetz in die Arena getrieben, das für den „k=0”-Fall eine Wahrscheinlichkeit von e ≈36.8% (λ ≈ 1) ergibt. Allerdings wird unterschlagen, daß für eine endliche(!) Spielfolge dieses Gesetz gar nicht anwendbar ist. Poisson_Roulette0_2Die Abbildung zeigt als Beispiel alle möglichen Spielverläufe, die sich nach 3 Spielen mit einem (etwas abgespeckten) 2-Zahlen-Roulette ergeben können. Für 2/9 der Fälle (es gibt bei dieser Variante insgesamt nur 27) wird die F0-Klasse erspielt, es werden also keine Zahlen (daher der Index Null) in der erspielten Serie fehlen; das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von etwa 22%.
Für 6/9 der Fälle wird die F1-Klasse erspielt, es wird also eine Zahl in der erspielten Serie fehlen; das entspricht etwa 67%. Und 1/9 der Fälle ergeben die F2-Klasse (es werden also 2 Zahlen in der erspielten Serie fehlen, die ganze Serie besteht aus genau nur einer einzigen Zahl); das entspricht etwa 11%.
Und schon paßt die Poisson-Story gut zum „2/3-Gesetz” (selbst bei nur 3 möglichen Zahlen), da irgendwo die Zahl 2/3 auftaucht. Und gut!
Nein! Ganz und gar nicht gut, da das Poisson-Gesetz nicht für endliche Wahrscheinlichkeitsbäume (in der Abb. gibt es gerade einmal 3 Entscheidungsebenen) anwendbar ist, sondern speziell für unendlich (zumindest sehr, sehr) viele Poisson_Roulette0_5Verzweigungsebenen. Die nebenstehende Abbildung vergleicht die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten (rot) für das Auftreten fehlender Zahlen in einer Serie von 6 Spielen bei einem „Zero–5-Zahlen”-Roulette mit den Werten für die Wahrscheinlichkeit, wie sie sich aus einer Poisson-Verteilung ergeben würden. Es gibt keine Ähnlichkeit. Zudem ist (in diesem Beispiel) jenseits der 5, wo Poisson noch munter Werte bereitstellt, der Definitionsbereich der „6 Zahlen eines 0|5”-Roulettes nicht erklärt. In der überwiegenden Zahl der Fälle (62%) wird in der erspielten Zahlenserie nur eine(!) Zahl fehlen; das wären aber 17% der Trommel (bzw. 20% der setzbaren Zahlen). Die Wahrscheinlichkeit, daß 1/3 der Trommel (also 2 Zahlen) während 6 Spielen nicht gezogen wird, beträgt 32%; die Wahrscheinlichkeit, daß das „2/3”-Gesetz nicht gilt, beträgt also 68%…
Irgendwie muß man sich wohl damit abfinden, daß Lehrbücher und auch Wikipedia unangenehme Überraschungen (um nicht Fehler zu schreiben) bereithalten. :mrgreen:

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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12 Antworten zu Roulette „2/3-Gesetz”

  1. YDU schreibt:

    Nun versuche ich mir gerade einen Kumpel von Sinnsucht vorzustellen … das Visualisierungsmodul arbeitet noch: Bitte warten!

    • ausgesucht schreibt:

      *kicher* Hoffentlich ist das Visualisierungsmodul nicht in eine Endlosschleife gelaufen!! 😛

      • YDU schreibt:

        Visualisierung läuft, nun frage ich mich, was die seltsamen „Schleifgeräusche“ sollen. Machen Endlosschleifen wirklich Geräusche, bevor sie im Nirvana landen? 😉

        • ausgesucht schreibt:

          Wenn die Visualisierung noch immer läuft, ohne offenbar zu einem Ende gekommen zu sein, schleift wirklich was im Nirvana. Andererseits ist das Nirvana ja ohnehin das absolute Nichts; da ist halt auch nichts, wo man z.B. den Henkel dranschrauben kann (um’s wegzuschmeißen), und nichts, um eine Leiter anzustellen, und nichts, woran das Eingangstor befestigt werden könnte – kurz: es schleift gar mächtiglich…!! 😛

  2. Gamer schreibt:

    Die Argumentation ist leider völlig daneben:

    Im ersten Beispiel mit den drei Zahlen 0-1-2 heisst es „Für 6/9 der Fälle wird […] eine Zahl in der erspielten Serie fehlen; das entspricht etwa 67%.“ Voilà: da haben wir schon die ca. 2/3 (67%) der Fälle, wo 1/3 der Zahlen (d.h. eine Zahl) nicht erscheint. Stimmt also, und ist kein Argument *gegen* das Gesetz der kleinen Zahlen, sondern bestätigt es.

    Im zweiten Beispiel mit sechs Zahlen 0…5 wird argumentiert, dass die Poisson-Verteilung nicht anwendbar ist. Mag sein, aber das Gesetz der kleinen Zahlen behauptet meines Wissens nicht, dass bei so einem Roulette die Posisson-Verteilung gilt. Vielmehr gilt die Binomialverteilung, die aber für eine grosse Anzahl Versuche durch die Poisson-Verteilung angenähert werden kann. Genau so wurde das Gesetz der kleinen Zahlen eben gefunden bzw. bewiesen. Die „grosse Anzahl“ Versuche bedeutet hier aber nicht, dass auch eine grosse Zahl von Entscheidungsebenen existieren muss, wie im Artikel behauptet. Im Gegenteil: Bei einem normalen Roulette kann man die 37 Zahlen als kleine Anzahl auffassen, daher der Name „Gesetz der kleinen Zahlen“. Bei Wikipedia steht ausserdem: „Das Gesetz der kleinen Zahlen trifft umso genauer zu, je größer die Anzahl n ist.“ Es wird also für n=37 Zahlen im Roulette-Kessel (nicht „Trommel“) genauer zutreffen, als für nur n=6 Zahlen im aufgeführten Beispiel.

    Es wurden schon unzählige lange Untersuchungen mit echten Roulette-Zahlen (sog. Permanenzen) dazu gemacht, und das Gesetz der kleinen Zahlen dabei immer bestätigt, z.B. hier: https://www.roulette-forum.de/topic/82-23-gesetz-beim-roulette/?do=findComment&comment=541.

    Im Artikel heisst es: „In der überwiegenden Zahl der Fälle (62%) wird in der erspielten Zahlenserie nur eine(!) Zahl fehlen;“ Das halte ich schlicht für einen Rechenfehler. Dass das Gesetz auch für nur sechs Zahlen hinreichend genau ist, wurde ebenfalls in zahlreichen Untersuchungen immer wieder bestätigt (Link siehe oben).

    • ausgesucht schreibt:

      Die Argumentation sei völlig daneben? Das ist eine Sicht, es gibt auch andere…

      • Gamer schreibt:

        Zugegeben, das ist nur eine Sicht… den Satz hätte ich besser weggelassen. Zum Rest stehe ich aber.

        Was sicher nicht stimmt, ist die Behauptung im Artikel „Die Wahrscheinlichkeit, daß 1/3 der Trommel (also 2 Zahlen) während 6 Spielen nicht gezogen wird, beträgt 32%; die Wahrscheinlichkeit, daß das „2/3”-Gesetz nicht gilt, beträgt also 68%“.

        Erstens widerspricht das allen (wirklich massenhaften) empirischen Untersuchungen, und zweitens: Wenn der erste Satz richtig wäre mit den 32%, dann müsste der zweite lauten „die Wahrscheinlichkeit, daß das „2/3”-Gesetz nicht gilt, beträgt also 100%“, denn der erste wäre ja ein Beweis. Die 32% werden aber nur behauptet, nicht etwa vorgerechnet. Dann könnte man nämlich den Rechenfehler genau lokalisieren.

        Mit einem handelsüblichen Würfel kann sich jeder nach paar zig Versuchen à 6 Würfen leicht von der Korrektheit des Gesetzes der kleinen Zahlen überzeugen.

        • ausgesucht schreibt:

          Es empfiehlt sich immer, erst genau zu lesen und dann, wenn’s denn unbedingt sein muß, das zu bekritteln, das da steht, nicht das, was man glaubt interpretieren zu müssen.
          Kleiner Tip: Es wird nicht das 2/3-Gesetz angezweifelt, sondern der „Beweis” mittels Poisson-Verteilung. Der Lösungsweg ist übrigens sehr wohl angegeben! Da allerdings ein Wahrscheinlichkeitsbaum für ein 0|5-Roulette (und sechs Ziehungen) wohl ein wenig aus dem Rahmen fallen könnte (’s soll ja schließlich keine Rechenstunde werden), habe ich mich auf das Vorrechnen für ein 0|2-Roulette beschränkt. Da Dich das Thema ja zu interessieren scheint, kannst Du ja mal einen Blick auf die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten bei einem 0|36-Roulette werfen: hier entlang. Und auch hier: am 2/3-Gesetz ist nicht auszusetzen, sehr wohl aber am Poisson für dessen „Herleitung”, da kann ich mit noch so vielen Würfel Spielserien zusammentrullern…

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