Hausaufgaben erledigt – Roulette

In dem Artikel Roulette „2/3-Gesetz”, in dem es um die Statistik für Spielserien ging, hatte ich darauf hingewiesen, daß die Poisson-Verteilung nicht geeignet ist, um abzuschätzen, wie häufig in einer Serie von 37 Spielen 1 oder 18 oder beliebige k Zahlen nicht gezogen werden (k = 0…36). Zur Illustration hatte ich ein abgespecktes „Zero-5”-Roulette angeführt. Nun ist ein „normales” Roulette sicherlich nicht mit solch einem „Winzling” zu vergleichen, was mich denn doch dazu verleitet hat, die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten einmal auszurechnen (vgl. Tab.). Es geht um eine Folge von 37 Ziehungen; 37, weil der Kessel nun einmal insgesamt 37 Zahlen enthält.

Poisson_Roulette0_37b

Zur Sicherung der Urheberrechte sind bei einigen Zahlen in der Tabelle ein paar Nachkommastellen gezielt manipuliert worden (d.h. eine Copyright-Verletzung ist leicht feststellbar)

Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 37 Spielen bespielsweise 13 Zahlen nicht erspielt wurden (welche auch immer das sein mögen), beträgt 20,437% (vgl. Hervorhebung in der Tabelle). Das ist zugleich auch die wahrscheinlichste Anzahl von nicht gezogenen Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß alle Zahlen nach 37 Spielen gezogen wurden (in welcher Reihenfolge auch immer), beträgt 37!·3737; dieser verschwindend kleine Wk-Wert ist in der Tabelle unter k=0 gelistet.
Die Schwierigkeit bei der Erstellung einer solchen Liste besteht darin, daß man die interessierenden Fälle nicht mehr einfach so auszählen kann: nach 37 Spielen gibt es 3737 unterschiedliche Spielverläufe, deren Spielserien ausgewertet werden müßten. Wenn ein PC es schaffen sollte, in 1 Sekunde 1 Mio Spielserien nach ihrem jeweiligen k-Wert zu „befragen”, bräuchte er etwa 3,34·1044 Jahre (zum Vergleich: die Erde bringt es mit ihrem Alter gerade einmal auf 4,5·109 Jahre).
Die Tabelle zeigt in der „Anzahl”-Spalte, wie häufig die einzelnen k-Werte in der Liste aller möglichen Spielkombinationen (nach 37 Spielen) auftreten. Und nein, die im Vergleich zu allen anderen in der Spalte winzige Zahl ganz unten, ist kein Druckfehler: wenn k=36 Zahlen in einer Reihe aus 37 Zahlen fehlen sollen, muß 37-mal immer dieselbe Zahl kommen, also 37-mal nur die 5 oder nur die 29 u.s.w., mithin gibt es tatsächlich also nur 37 unterschiedliche Eine-Zahl-Serien unter all den vielen Spielserien.Poisson_Roulette0_37a
Die Herausforderung (bzw. der Spaß) besteht darin, für die einzelnen k-Werte Vorschriften zu finden, um die Anzahlen von einem Algorithmus berechnen zu lassen; hier mal 4 Beispiele:
• Anzahlk=0 : 37!
• Anzahlk=1 : 666 · Anzahlk=0
• …
• Anzahlk=35 : 37·36·(236 – 1)
• Anzahlk=36 : 37

Am Ende eines langen Tages stehen dann auch schon alle Anzahlen zur Verfügung. Die sich daraus ergebenden Wahrscheinlichkeiten haben nichts, absolut gar nichts mit einer Poisson-Verteilung zu tun. Es gibt nur einen Parameter, der durch die Lage des Mittelwertes (hier: λ = 12,9179) definiert ist. Mit dem Mittelwert liegen sofort auch die Wahrscheinlichkeiten aller übrigen k-Klassen fest. Die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten („blaue Balken” in der Abb.) und die Poisson-Wahrscheinlichkeiten („rot” in der Abb.) weichen kolossal voneinander ab…

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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9 Antworten zu Hausaufgaben erledigt – Roulette

  1. Pfeffermatz schreibt:

    Hast du schon bei Wikipedia gemeckert?

    • ausgesucht schreibt:

      Nö, werde ich auch nicht. Zum einen widerspräche es meinem Credo, die eigene Spur im „Netz” möglichst flach zu halten, und zum anderen gehe ich nicht davon aus, daß „die Welt” auf mein Geschreibsel wartet (… gilt übrigens auch für WP ^_^ ). 😉

  2. S. Meerbothe schreibt:

    Mathematiker. 🙂

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