verkrümmt

Auf einem dieser Fernsehsender, von denen man nie weiß, ob sie einem hohen Bildungs­auftrag oder pennälerhaftem Klamauk verpflichtet sind, flimmerte dieser Tage ein Filmchen, in dem wortreich dargelegt wurde, daß es einerseits möglich ist, die Raum­krümmung unseres Universums von der Erde aus zu messen, und daß andererseits qua Messung der empirische Beweis für ein flaches Universum vorliegt. Na, wenn das nicht zum Krümmen ist, vor Lachen (versteht sich).

Raumkrümmung messen

Das vorgestellte Meßverfahren ist denkbar einfach. Als Analogie stelle man sich die Erde vor, die nur auf ihrer Oberfläche von zweidimensionalen Lebewesen bevölkert ist, die nie auf eine „Außensicht” ihrer Heimatkugel zurückgreifen können. Dennoch können sie den Radius der Kugel bestimmen, SphaerDreieck3indem sie lediglich auf der Kugeloberfläche ein Dreieck markieren, von dem sie die Innenwinkelsumme möglichst genau messen. Wäre die Erde eine Scheibe, ergäbe sich in jedem Fall ein Wert von exakt 180°. Auf einer Kugel­oberfläche hängt die Summe der Innenwinkel jedoch sowohl von der Größe des Dreiecks als auch von seiner Form ab. Das Diagramm (Abb. oben) zeigt die Innenwinkelsumme gleichseitiger Dreiecke mit der Seitenlänge b, wobei b im Verhältnis zum Kugelradius angegeben ist. Beispielsweise bedeutet Σ αi = 222°, daß b/r = 1,18 betragen muß, also daß der Radius der Kugel, auf deren Oberfläche ein gleichseitiges Dreieck ausgemessen wurde, etwas kleiner (Faktor 1,18) als die Bogenlänge b einer einzelnen (gekrümmten) Seite ist.
Lediglich zur InformationSphaerDreieck2 ist in der Abbildung auch der Zusammenhang der Sekanten­länge s zweier Punkte auf der Kugeloberfläche mit ihrem Bogenabstand b dargestellt. Für kleine Dreiecke im Vergleich zum Kugelradius gibt es zwischen s und b nur einen verschwindend kleinen Unterschied (der Graph im obigen Diagramm hat für b « r den Anstieg 1).

Kosmische Objekte anpeilen

Soll nicht die Krümmung nur der Erdoberfläche nachgemessen werden (was allein sich schwierig genug per Triangulation bewerkstelligen ließe, da sich die Erdoberfläche als alles andere als ideal präsentiert), sondern die Raumkrümmung in kosmischen Dimensionen (wenigstens des Sonnensystems, besser noch in Größenverhältnissen unserer Galaxie), kommen gleichseitige Dreiecke zur Analyse der Innenwinkelsumme nicht mehr in Frage. Wer hätte schon Lust, ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von etwa 10 Parsec abzuschreiten? SphaerDreieck5Vielmehr werden kosmische Objekte angepeilt, wobei das Dreieck, das diesem Visier­vorgang entspricht, keine Ähnlichkeit mit gleich­seitigen Dreiecken aufweist, sondern sich sehr, sehr hoch mit einer schmalen Basis zeigt (vgl. Abb. rechts). Der spitze Winkel, er soll hier „Peilwinkel” genannt sein, hat für den (Erd-)Mond einen Wert von etwa 0,5°; die beiden anderen Winkel des Peildreiecks haben Werte von etwa 90°.

Schmale Dreiecke auf Kugeloberflächen

Die Summe der Innenwinkel sehr langgezogener sphärischer Dreiecke weicht vom entsprechenden Wert gleichseitiger Dreiecke (Abb. oben) empfindlich ab. Die nachfolgende Abbildung illustriert die Summe der InnenwinkelSphaerDreieck4 für rechtwinklige Dreiecke, bei denen eine im Vergleich zur Hypotenuse sehr kurze Kathete das anvisierte Objekt darstellt. Der gegenüber­liegende Winkel (d. h. der Peilwinkel) soll, vergleichbar mit dem Anvisieren von Erde oder Sonne, einen Wert von 0,5° – gemessen auf einer ebenen Ober­fläche – haben. Selbst wenn das Dreieck 1½ mal so groß wie der Radius der Kugeloberfläche ist, übersteigt die Summe der Innenwinkel den Wert 181° nicht, während bei einem gleichseitigen Dreieck sogar 260° erreicht würden. Freundlicherweise braucht man die beiden „fast 90°”-Winkel nicht zu messen, denn auch der isoliert betrachtete Peilwinkel wird durch die Krümmung der Kugel­oberfläche beeinflußt (vgl. rote Linie im Diagramm): Wird anstelle des tatsächlichen Wertes von 0,5° als Peilwinkel ein Wert von 0,65° ermittelt, ist die Entfernung b des kosmischen Objektes das 1,22-fache des Radius‘ r der Kugeloberfläche.
Nicht so freundlich ist, daß man ja gar nicht weiß, welchen Peilwinkel das Visierdreieck auf einer ungekrümmten Fläche hätte. Würde im ebenen Fall der Visierwinkel 0,6° betragen, schlösse man aus einem beobachteten Wert von (noch immer) 0,65° auf ein b/r-Verhältnis von 0,69, also auf nur etwa den halben Wert der Krümmung (d. h. höchste Meßungenauigkeit).

Ab in die Tonne!

Gibt es denn überhaupt eine Chance, den „ebenen Peilwinkel” zu bestimmen? Ja! Hinreisen und Winkel und Wege messen. Wo das nicht möglich ist, braucht es solide(!) Annahmen zu Entfernungen und Ausdehnungen kosmischer Objekte.
Allerdings sollte man nicht verschweigen, was die Macher des eingangs erwähnten Filmchens ganz zufällig(!?) verschwiegen haben: SphaerDreieck1Es besteht ein gigantischer Unterschied zwischen der Geometrie in einer irgendwie gebogenen Oberfläche und der in einer Ebene eines gebogenen Raumes.
Das Photo illustriert ein zweidimensionales Objekt (Quadrat), das sich auf einem dreidimensionalen Objekt (Kugel) befindet. Würde die Kugeloberfläche die Raumkrümmung darstellen, würde das Quadrat in der Kugeloberfläche liegen müssen, also (von außerhalb der Raumkrümmung betrachtet) „krumm” sein. Liegt es jedoch in einer Ebene des gekrümmten Raumes, etwa in der Ebene, die das Visierdreieck eines kosmischen Objektes enthält, ist das Visierdreieck kein sphärisches. Also ist die Innenwinkelsumme für einen Beobachter im gekrümmten Raum 180°, weil er ein nicht-sphärisches, ein ebenes Dreieck trianguliert.
Kann man sich da wirklich über das sensationelle „Ergebnis” wundern, das die Filmchen­macher im Namen der Wissenschaftler verkündeten: Das Universum ist ungekrümmt.

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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22 Antworten zu verkrümmt

  1. YDU schreibt:

    Um eines klarzustellen:“Denkbar einfach ist für mich das Starten einer Kettensäge, wenn sich alle Umgebungsvariablen im grünen Bereiche befinden und das extrahieren dieser holzigen Stengel großer Pflanzen, aber schon bei der „Fallbahn“ lässt sich diese denkbar einfache Geschichte nicht mehr anwenden … “ Was ist nun wirklich denkbar einfach? Ich grüble gerade ausgiebig und komme zu keinem wirklich befriedigenden Ergebnis, denn der Unwägbarkeiten gibt es unendliche viele, obwohl sie nicht bei jedem Fall eintreten, aber woher sollte ich das vorher wissen? 😉

    • ausgesucht schreibt:

      So unterschiedlich kann „denkbar einfach” sein: für mich ist das Starten einer Kettensäge – je Kette, desto säger! – einfach undenkbar… 😉

      • YDU schreibt:

        Kann nicht sein, kann doch jeder, nur sollte man die Kette immer schön vom Körper weg halten, da man ihr Zuwendungsbedürfnis manchmal als übertrieben bezeichnen könnte … 😉

  2. Chantao schreibt:

    Nun, die Erde ist ja wirklich eine Scheibe, nur nach Art eines Möbiusbandes und da eben in alle Richtungen, schon irritierend, Nun, und Zeit, die es ja eigentlich auch nicht gibt, eine Illusion, die unsere Ich-Illusion sich in der Fantasie so vorstellt, damit sie nicht irre wird, Zeit als angenommene 5. Dimension, eigentlich nur eine Einstellung auf Zeiger – oder Digitaluhren …. oooo, ich werd‘ noch bekloppt, wenn ich das jetzt hier weiter denke….. Früher war Mathematik auch mal so ein Hobby von mir, oder Physik, das hörte auf, als Arbeit ein Hobby von mir wurde, wenn auch ein teures, fortan war Mathematik nur noch das Mittel für meine Verzinsung, aber das ist wieder eine ganz andere Geschichte 😉

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