Mondbahn: r(t) und φ(t)

Neulich fragte jemand, wie das wohl sei mit den GPS-Satelliten, bei denen ja wohl wegen der Meßgenauigkeit bzw. grundsätzlich für das Funktionieren des Verfahrens die Einflüsse der Allgemeinen Relativitätstheorie zu berücksichtigen seien. Irgendwie sei das alles gar nicht so trivial, weil z. B. die Radialbeschleunigung ar = v²/r einen Teil der Gravitations­wirkung kompensieren würde, aber alles in allem sei das GPS-System ein schlagender Beweis mehr für die Aussagen der AR.
Mag sein, aber seltsamerweise rumorte dieses ar = v²/r durch die Gedankengänge: Wieso wird beinahe ausnahmslos mit der Zentrifugalkraft (bzw. Radialbeschleunigung) der kreisförmigen Bewegung argumentiert, wo diese Bewegungsart unter kosmischen Verhältnissen denkbar selten vorkommt?

Rechnen heilt vergebliche Suche

Das kann doch alles nicht so schwer sein. Kepler hat’s gemessen und Newton hat’s theoretisch unterfüttert. In einem gravitativen Zentralkraftfeld sind, sofern kein Antrieb aktiv ist, als Bahnformen nur Kegelschnitte möglich. Umkreisungen erfolgen auf Ellipsenbahnen (Kreisbahnen sind Sonderfälle) und Vorbeiflüge auf hyperbolischen Bahnen; MondBahn_4im mathematischen Brennpunkt dieser Bahnen befindet sich das Gravitations­zentrum.
Die Struktur der Gravitationskraft legt es nahe, die Beschreibung der Bahnform bei der Umkreisung mit Polarkoordinaten (r, φ) vorzunehmen. Es braucht nur wenige Schritte (es wäre trivial, sie hier auf­zulisten), um aus der Gravitationsformel (vgl. Abb. oben) herzuleiten, daß die Bahnform in einer euklidischen Ebene liegt und daß r²·dφ/dt konstant ist (zumindest wenn die „umlaufende” Masse m sich nicht verändert).
All das, was sich mit wenigen Federstrichen ohne Schwierigkeiten aufs Papier bringen läßt, läßt sich genauso leicht auch im „allwissenden” Internet nachlesen. Aber! Wirklich spannende Informationen (z.B.: ‘Wie, genau, ändern sich r und φ im Zeitablauf?’) bietet es hingegen kaum oder gleich gar nicht und über andere verkündet es Unfug. Manchmal kann es nicht verkehrt sein, sich selbst ein Bild zu machen.

Bahn des Mondes um die Erde

Die Differentialgleichung, mit der der Abstand des Mondes von der Erde für verschiedene Zeitpunkte berechenbar ist, nämlich r(t), ist nicht gerade „appetitlich” (vorletzte Gleichung in obiger Abb.). Da allerdings die Umrundungen der Erde auf Ellipsenbahnen geschehen, muß eine Ellipsengleichung MondBahn_5(vgl. Abb.: x=0, y=0 ist der Erdmittel­punkt und zugleich der („linke”) Brennpunkt der Ellipse) die obige Differentialgleichung erfüllen.
Der Nachweis ist nicht sonderlich kompliziert, wenn in der Ellipsen­gleichung (x-f)²/a² + y²/b² = 1 die Koordinaten x und y ersetzt werden und die Gleichung so umgeformt wird, daß r eine Funktion von φ wird:
MondBahn_6
Durch Koeffizientenvergleich mit der ursprünglichen Differentialgleichung (Abb. oben) ist zu erkennen, daß Ellipsen das Bewegungsproblem lösen, wenn die Ellipsenparameter a und b so gewählt sind, daß
MondBahn_7
erfüllt ist. Die r(φ)-Funktion kann herangezogen werden, um in der Differentialgleichung für dφ/dt (unterste Gleichung in der obersten Abb.) die Größe r(t) zu eliminieren, es verbleibt eine Bestimmungsgleichung für φ(t).
Mit diesem zeitabhängigen MondBahn_1Positions­winkel liegt die Mondbahn fest (vgl. Abb). Die hervorgehobenen Punkte sind mit Zeitangaben gekennzeichnet, wieviele Tage nach dem Apogäum der Bahnpunkt erreicht wird. Die Umlaufzeit (T=27,45 d) ist einzig und allein aus a (384,4 Tsd. km), b (383,8 Tsd. km), γ und M (5,974·1024 kg) berechenbar. Mehr braucht’s nicht.
Die Mondbahn an sich ist genauso spekta­kulär wie die unterschiedlich langen Bogen­stücke der Bahn, nämlich überhaupt nicht, da die Mondbahn ziemlich kreisähnlich ist.

… eben nur fast kreisförmig

Obwohl die Ellipse der Mondbahn nahezu kreisförmig ist, ist ihr Einfluß (z. B. unter­schiedliche Beträge der Bahngeschwindigkeit) allerhöchstens in gröbster Näherung durch Werte aus einer kreisförmigen Bewegung beschreibbar. Die Abbildung zeigt (linke Ordinatenachse), MondBahn_2 wie sich der Positions­winkel φ während eines Mondumlaufs ändert. Wieder ist mit bloßem Auge fast kein Unterschied zur Kreis­bewegung zu erkennen. Auf der rechten Ordinaten­achse ist dieser Unterschied isoliert dargestellt: die Position des Mondes weicht am Firmament um bis zu 6° von den Orten ab, die er auf einer Kreisbahn durchlaufen würde. Das ist 1/5 der Ausdehnung der Tierkreiszeichen auf der Ekliptik.
Lesebeispiel: Für den markierten Zeitpunkt (etwa 11 Tage nach dem Durchlaufen des Apogäums) befindet sich der Mond unter einem Positionswinkel von φ =2,4 [rad] bzw. 138° und ist damit Δφ = -4° von der Stelle entfernt, die er auf einer Kreisbahn innehätte.

Lunarer Spaß jenseits lahmer Kreisbahnen

Die selbstgestellte Aufgabe bestand darin, Zeitangaben zu jeder einzelnen Ellipsenposition zu ermitteln und nicht nur qualitative Angaben herzuleiten (Umlaufzeit, größter/kleinster Abstand zu Erde, größte/kleinste Bahngeschwindigkeit etc.). Die Zeitgesetze r(t), φ(t), x(t) und y(t) sind nunmehr verfügbar, mithin auch die Antwort auf die eingangs gestellte Frage nach dem Fehler bei der Verwendung der Radialbeschleunigung ar = v²/r für kreisförmige anstelle von elliptischer Bewegung (Fortsetzung folgt…).
Die ermittelten Zeitgesetze MondBahn_3erlauben die Möglichkeit, sich einen Mond vorzu­stellen, der auf einer deutlich ellip­tischen Bahn (ε = 0,7596 ggü. 0,0549 in der Realität) um die Erde herumturnt. Wenn die große Halbachse a sich nicht vom tatsächlichen Wert unterscheiden soll, weisen beide Varianten gleiche Umlaufzeiten auf. Da allerdings die Bahn­geschwindigkeit in Erdferne deut­lich geringer ist als in Erdnähe, können sich die Positionswinkel um bis zu knapp 100° unterscheiden (vgl. Bspl: t = 8 d).

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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12 Antworten zu Mondbahn: r(t) und φ(t)

  1. Chaosvater schreibt:

    …. und das an einem Ostermontag? verstehe wer da will …… ich kann dem nicht folgen!
    leider

    • ausgesucht schreibt:

      Gerade an einem Ostermontag: Ostern → Ei → Ovum → Oval → Ellipse. ❗

      Naja, dann werd ich’s wohl schlecht geschrieben haben, aber ich gelobe Besserung – doch zunächst erst einen österlichen (Eier-) Likör… 🙂

  2. lawgunsandfreedom schreibt:

    Nach mehreren Fässern Eierlikör habe ich beschlossen diesen Artikel als Kunstwerk anzusehen und meine Jacht zukünftig auf L1 oder L2 zu parken. 😀

    • ausgesucht schreibt:

      Oha, dieses „Kunstwerk” scheint Kopfschmerz zu bereiten, denn – wie W.Busch so treffend knittelte – es ist so Brauch von Alters her, wer Sorgen hat, hat auch [Eier-]Likör… ^_^

      • lawgunsandfreedom schreibt:

        Kopfschmerz? Bei mir doch nicht – solange ich nicht versuche, meine höchst rudimentären Mathematik-Kenntnisse zu strapazieren :mrgreen:

        • ausgesucht schreibt:

          *chchch* … Mathematikkenntnisse?! Da gibt’s doch sicher ’ne App! 😛

          Aber, sag mal, wer ist dieser Rudi Ment?? Ich habe schon öfter von ihm gehört, aber ihn noch nie selbst kennengelernt. Der muß ja ein echtes Mathe-As sein, aber zugleich auch arg strapaziert… 😀

          • lawgunsandfreedom schreibt:

            Mathe-App wäre schön. Gibt’s aber leider nicht.

            Der Rudi Ment ist der Halbbruder Reiner Hohn. Ich fürchte, Mathe können beide nicht. Aber sie sind ausgesprochen bauernschlau.

            Kennst Du eigentlich den Herrn Übertrag? Steht auf der 2. Seite der Lohnliste immer ganz oben, kriegt von allen das meiste Geld, aber niemand hat den jemals in der Firma gesehen.

  3. martadissevelt schreibt:

    Hallo, ich habe dich für den „Liebster Award“ nominiert, und bevor du nein sagst, schau es dir erstmal an: martadissevelt.wordpress.com/2016/03/28/liebster-award/
    Viel Spaß und liebe Grüße!
    Marta Dissevelt

    • ausgesucht schreibt:

      Upps, ich bin für den “Liebster Award” nominiert. Das ist eine Freude. Da danke ich von ganzem Herzen. Und ich hätte damit sogar schon eine Antwort auf die 8. Frage, nämlich Freude an der Anteilnahme an meinem Geschriebenen bzw. den dadurch übermittelten Gedanken.
      Und doch möchte ich Dir „einen Korb” geben, wie ich es schon mehrfach bei solchen Nominierungen tat (siehe hier oder hier).

      … und sage nicht, ich hätte Deinen Artikel und die Fragenliste nicht sorgfältig angeschaut. Ich habe mir sogar die Mühe gemacht, die neuen Fragen hier zu listen:

      1. Warum hast du dir einen Blog angeschafft?
      2. Wie stehst du zu “Superfood” und dem Fitnesshype?
      3. Lieblingsbuch?
      4. Welchen deiner Blogeinträge magst du am liebsten, und warum?
      5. In welches Land würdest du am liebsten Reisen und warum?
      6. Was ist dein Beruf im “echten Leben”?
      7. Dein Lieblingslied, wenn du traurig bist und vielleicht die Geschichte dazu?
      8. Was ziehst du für dich persönlich aus der Schreiberei?
      9. Was sagst du zum dem Thema Emanzipation? Sind wir schon weit genug oder besteht noch Bedarf? Was passiert mit der klassischen Rollenverteilung? Was haben sich für Erfolge ergeben, was ist schief gelaufen?
      10. Kannst du auch über Witze lachen, wenn sie sich auf Minderheiten beziehen?
      11. Was meinst du, könnte man persönlich tun um Menschen, die hierher geflüchtet sind, zu helfen? Tust du schon etwas?

      Du stellst spannende Fragen, doch fast jede Antwort würde spielend ein komplett selbständiges Blog füllen können oder gar müssen. 😉
      Ob ich das wohl könnte? Nein, ehrlich gesagt, nicht. Halbe Sachen mag ich nicht und die ganze Sache kann ich (in diesem Fall) wohl nicht.

      Vielen Dank & viel Spaß mit den „entgegenkommenderen” Bloggern. 😉

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