Mondbahn: Radialbeschleunigung

MondBahn_4Um aus den Differentialgleichungen, die den Umlauf eines Körpers um ein Gravitations­zentrum M beschreiben, auf die Zeitgesetze r(t) und φ(t) der Bewegung zu schließen, ist durchaus ein bißchen Gehirnschmalz vonnöten. Auf dem Lösungsweg wird an keiner Stelle eine Annahme darüber bemüht, wie die Radialbeschleunigung auf der Umlaufbahn im Verhältnis stehen könnte zur jeweiligen Beschleunigung, die sich aus der Gravitationswirkung ergibt. Die immer wieder im iNet (u. a. hier) anzutreffende Gleichsetzung
MondBahn_agiltMondBahn_1 für kreisförmige Bewegungen. Diese sind aber, wie bereits erwähnt (siehe hier), in der kosmischen Realität außerordentlich selten. Die nebenstehende Abbildung skizziert die Bahn des Erdmondes (maßstabsgerecht, ε = 0.055). Hervorgehoben sind Positionen zu den Zeitpunkten t = 1, 2, 3… Tage.
Für diese Beispielbewegung sind im Chart zu jedem Zeitpunkt t die Werte einerseits der Radialbeschleunigung und andererseits der Fallbeschleunigung (also der gravitativen Wirkung) angegeben.
MondBahn_9
Augenfällig wird deutlich, daß die Annahme, die Beträge der Gravi­tations­- und der Zentrifugalkraft seien gleichzusetzen, um den Bewegungsgesetzen beizukom­men, eine recht heroische ist. Tatsächlich gibt es pro Umlauf lediglich zwei Zeitpunkte bzw. zwei Positions­winkel φ, zu denen gravitative und Radialbeschleu­nigung identisch sind. Sind a und b die Längen der großen und kleinen Halbachse der Ellipsenbahn um das Gravitationszentrum (hier: Erde), gilt die Gleichheit nur bei den Positionswinkeln φ=, die die Bedingung sin φ= = ±b/a erfüllen. Beim Erdmond lauten diese Werte φ= = ±1,516 [rad] MondBahn_8bzw. ±86,85°.
Die nebenstehende Abbildung illustriert diese speziellen Punkte. Dargestellt sind 4 verschiedene Bahnformen für dasselbe Gravitationszentrum und denselben a-Wert (Länge der großen Halbachse). Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, daß alle 4 Bahnformen in derselben Zeit umlaufen werden und jeweils einen Ellipsenbrennpunkt mit den anderen Bahnen gemeinsam haben.
Dort wo – wen wundert’s? – eine Ellipse die laut Parametern zugehörige Kreis­form schneidet, finden sich die beiden „φ=”-Punkte, also die Gleichheit von Gravitations- und Zentrifugalkraft. Und auch nur dort.

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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2 Antworten zu Mondbahn: Radialbeschleunigung

  1. ichbindaswortistich schreibt:

    War es Dir diesbezüglich nur um die Darstellung oder eine tatsächliche Lücke in der Theorie zu tun? Es stimmt freilich, daß wir zumeist an kreisförmige Bewegungen denken, wiewohl wir seit, gelinde gesagt, geraumer Zeit durch Beobachtung wissen, daß es sich eigentlich um elliptische Bewegungen handelt.
    Ich bin mir indes nicht sicher, ob Du einen Problem zwischen theoretischer Vorhersage, die ja das Ziel einer wissenschaftlichen Theorie darstellt (zumindest ein Ziel derselben), und tatsächlich durchgeführten oder auch nur durchführbaren Berechnungen mit Hilfe derselben oder vielleicht auch Erklärungskraft siehst.

    • ausgesucht schreibt:

      Gute Frage! Im Einleitungssatz zum ersten der zwei (beabsichtigt drei) Artikel zum Themenkreis „elliptische Bewegung im Zentralkraftfeld” hatte ich geschrieben, daß es um eine Verständnisfrage geht. Man hört in diesem Zusammenhang immer wieder von so vielen Dingen und findet im iNet Zillionen von Darstellungen, aber irgendwie passen die nicht recht zueinander. Und da ich Autoritätsbeweise zumindest beargwöhne (ehrlicherweise sogar verabscheue), sah ich mich irgendwie gezwungen, den ganzen Lex einmal komplett durchzudeklinieren. Damit habe ich nun aber auch die Möglichkeit, offensichtlichen Unfug, den irgendein „Erklärbär” im iNet oder auf Papier (z.B. im jüngsten WdW-Magazin) verzapft hat, als solchen zu entlarven… 🙂

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