Mondbahn: Zentralmasse schätzen

Nachdem ich die geneigte Leserschaft bereits mit zwei Artikeln zu Ellipsenbahnen in einem Zentralkraftfeld gelangweilt habe (siehe hier und hier), soll die „Geschichte” jetzt mit einem dritten Artikel zum Abschluß kommen.
Der berechtigte Einwand (siehe hier), wozu das ganze, läßt mich noch einmal betonen, daß es zu diesem Themenkreis zwar unerhört viel zu lesen gibt, es sich aber meistens um recht fragwürdige Aussagen handelt. Wem soll man glauben? Ein durchaus probates Mittel ist, sich selbst eigene Gedanken zu machen. Auf diese Weise findet man nicht nur Über­raschendes, sondern zugleich auch einen verläßlichen Kompaß durch den kaum überschau­baren Dschungel unsinniger, widersprüchlicher, halbgarer oder korrekter Aussagen.

Massebestimmung mittels Länge und Zeit

Da in einem Zentralkraftfeld für die Umlaufzeiten T und die großen Halbachsen a der Ellipsenbahnen der das Gravitationszentrum umlaufenden Körper das 3. Kepler­sche Gesetz (a³/T² = konstant) gilt und dieses Gesetz nicht von der kleinen Halbachse b (oder der Exzentrizität ε MondBahn_bder Bahn) betroffen ist, kann die Bestimmung der Umlaufzeit stellvertretend für eine Ellipse an einem Kreis (mit dem Radius a) durchgeführt werden. Für eine Kreisbahn gilt zu jedem Zeitpunkt die Gleichung
MondBahn_a

 

Mit dieser Gleichung kann durch Messung von Länge und Zeit, nämlich a und T, auf die Masse M im Gravitations­zentrum geschlos­sen werden (vgl. Formel in der Abb.). Die Skizze ist maßstabsgerecht für einen Erdmond, der mit ε = 0,65 weit mehr von der Kreisbahn abweicht als der tatsächliche (Elliptizität ε = 0,055).

Fehler bei der Massebestimmung mittels Länge und Zeit

AngenommenMondBahn_c, irgendwo im All hätten Astronomen eine Bewegung gefunden, die längs der blau skizzierten Ellipse (Abb. re.) abläuft. Es kann auch jede andere Ellipse sein, aber um Vergleichbarkeit mit dem Beispiel aus der obigen Abbildung zu haben, sei es in diesem Beispiel genau diese.

Was ist dargestellt? Es ist nach wie vor die Bewegung eines Körpers der Masse m in einem Zentralkraftfeld, das ein anderer Körper der Masse M erzeugt. Der Unterschied zur obigen Darstellung ist lediglich, daß die x– und y-Koordinaten sich nicht auf den Mittelpunkt der Masse M beziehen, sondern auf den Schwerpunkt der beiden Massen m und M. Beide Körper bewegen sich auf Ellipsen umeinander (es sind zur Veranschaulichung für t = 3, 10, 13 und 21 Tage jeweils die Verbindungslinien der Körper gezeichnet); ihr Schwerpunkt ruht.

Die blaue Ellipse der unteren Abbildung ist deckungsgleich zu obigen. Während aber für die obige Abbildung M = 5,974·1024 kg (nämlich die Masse der Erde) ausgerechnet wird, gilt für die untere Abbildung – also bei denselben(!) Werten für a und T – ein deutlich geringerer Wert für M, nämlich: M = 1,770·1024 kg. Klar doch, das resultiert aus der „roten Ellipse”, deren Einfluß noch gar nicht gewürdigt wurde. Aber was wäre, wenn dieses Objekt (mithin auch die [rote] Ellipse) gar nicht beobachtbar wäre? Beispielsweise könnte ein ausgebrannter Stern oder gar ein Schwarzes Loch das Gravitationszentrum sein.
Beobachtbar wäre nur die Ellipse um den Schwerpunkt. Da über die Massen m und M oder wenigstens über das Masseverhältnis m÷M nichts bekannt ist, wird, wenn sie aus a und T berechnet wird, die Zentralmasse prinzipiell überschätzt, und das u. U. handfest und nicht etwa nur um wenige Promille (im hier verwendeten Beispiel würde aus der Geometrie der [blauen] Ellipse auf einen Wert geschlossen werden, der um den Faktor 3,375 zu hoch ist).

Zurück zu Erde & Mond

Also stimmt die Formel für die Umlaufzeit (vgl. Abb. oben) gar nicht? Also führen die Werte für a und T, die aus der Mondbeobachtung ermittelbar sind, durch die Formel
MondBahn_dalso doch irgendwie zu falschen Werten der Erdmasse M? Zweimal nein. Den Bewegungsgesetzen für die Umlaufellipsen ist vollkommen „egal”, welche Masse m umläuft. Die Bahnform, die sich aus den Differentialgleichungen (vgl. hier) herleiten läßt, ist unabhängig von der umlaufenden Masse, sofern sich die Koordinaten auf den Mittelpunkt des Gravitationszentrums beziehen. Und genau das ist der Fall, wenn von der Erde aus der Mond angepeilt wird. Dabei bleibt der Schwerpunkt, der sich irgendwo auf der Linie zwischen Erdmittelpunkt und Mond befindet, vollständig unbeachtet.
Das gilt auch für Peilungen innerhalb unseres Sonnensystems. Sofern sich die Beobachtungen auf das Zentrum der Zentralkraft beziehen (Sonne bei Planeten, Erde beim Mond, Jupiter bei seinen Monden etc.), gilt die obige Formel. Ist hingegen die Beobachtung eines Partners des elliptischen Umlaufs im Zentralkraftfeld nicht möglich (z.B. dunkles Zentrum bei Bewegung von Sternen oder dunkle Planeten großer Masse, die Sterne umlaufen), ist die Formel nicht mehr (sinnvoll) anwendbar.

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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6 Antworten zu Mondbahn: Zentralmasse schätzen

  1. YDU schreibt:

    Werde ich eine klare Vollmondnacht je wieder so verzückt genießen können wie in den Jahrzehnten zuvor?

  2. Marcello Francé schreibt:

    Ich warte ja noch immer auf eine allgemeine Lösung von Bahnvorhersagen für drei sich gegenseitig in ihrer Schwerkraft beeinflussenden Körpern, von denen keine Masse als vernachlässigbar angesehen werden darf 😀

    • ausgesucht schreibt:

      Man sollte nie nie sagen, aber dieser Traum wird wohl nie…
      Ich wüßte jetzt, so aus der kalten, keine Namen zu nennen, aber es gibt – wenn ich mich richtig erinnere – einen schlüssigen Beweis für die Unmöglichkeit einer solchen Lösung. Das ist einerseits schön (beweist es doch die Allmacht der Theorie), andererseits aber betrüblich, denn es räumt letzten Ende der Theorie mehr Macht als der Realität ein. ^_^

      • Marcello Francé schreibt:

        Ja, ich meine mich zu erinnern. Aber vielleicht… Wäre zumindest schön. Ich hätte auch nie gedacht, dass jemals jemand das mit dem Fermat-Problem herausbekommt. Hier wahrscheinlich aber nicht. Schade eigentlich.

        • ausgesucht schreibt:

          Die Fermat-Geschichte ist ein hübscher Hinweis. Wahrscheinlich sollte über das „geschlossen lösbare Drei-Körper-Problem” ein ganz klein wenig offener formuliert werden: in der aktuell praktizierten Physik gibt es keine mathematische Lösung, aber vielleicht wird es einmal eine Physik geben, in der das mathematische Problem eine bewältigbare Herausforderung darstellt? ^^

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