GPS-Ortung

Der Einstiegssatz zum Artikel vom 28.03.2016, in dem es um das Weg-Zeit-Gesetz bei der Umkreisung astronomischer Objekte geht, deutete auf Details bei der GPS-Ortung hin, die zum Verständnis der Funktionsweise zwar notwendig wären, in den einschlägigen Medien allerdings kaum glaubhaft und/oder verläßlich dargestellt sind. Es strotzt nur so von Fehlern. Um jedoch die Spreu vom Weizen trennen zu können, ist eine solide, begründbare Beschreibung sicherlich nicht von Nachteil.

Positionsbestimmung mittels 4 GPS-Satelliten

Oft ist Wikipedia ein Garant für verläßliche Informationen (Öffentlichkeit und Schwarm­intelligenz tragen das Ihre dazu bei). So erfährt der interessierte Leser, daß 24 Satelliten die Erde auf speziellen Bahnen umkreisen und daß mittels Radiosignalen, die von diesen Satelliten ausgesandt werden, von denen mindestens vier „in Sicht” sein müssen, Ort und sogar die Geschwindigkeit eines GPS-Empfängers auf der Erdoberfläche ermittelbar seien (Quelle: wiki). Konkreter heißt es dann im Absatz „Aufbau und Funktionsweise der Ortungsfunktion”: »Damit ein GPS-Empfänger immer zu mindestens vier Satelliten Kontakt hat, werden insgesamt mindestens 24 Satelliten eingesetzt, die die Erde jeden Sterntag zweimal in einer mittleren Bahnhöhe von 20.200 km umkreisen. […]. Da die Erde […] in einem Sterntag fast eine komplette Drehung um die eigene Achse vollführt, steht ein Satellit nur einmal täglich über demselben Punkt der Erde (Quelle: wiki, Hervorhe­bungen nachträglich zugefügt)«.
Eine „mittlere Bahnhöhe von 20.200 km” (also ein Abstand von etwa 26.560 km vom Gravitationszentrum (Quelle: kowoma.de)) läßt auf eine Umlaufzeit von etwa 11h 57’ 59,8″ schließen. Diese Angabe ist ungenau, da der ‚mittlere Abstand‘ zum Gravitationszentrum von ‚mittleren Erdradius‘ anhängt, der allerdings nirgends spezifiziert wird. Zudem ist ein ‚mittlerer Abstand‘ einer Umlaufellipse nicht die ‚große Halbachse‘; mithin ist das Anwenden der Umlaufzeit-Formel (siehe hier) fragwürdig. Während die eine Quelle behauptet, »dass der gleiche Satellit jeden Tag etwa 4 Minuten früher über der gleichen Position steht« (siehe hier), schreibt die andere: »ein Satellit [steht] nur einmal täglich über demselben Punkt der Erde (genau: alle 23 Stunden 55 Minuten und 56,6 Sekunden)« (siehe hier). GPS_Bild2Aber der angegebene Wert der doppelten Umlaufzeit, 23h 55’ 56,6″, stimmt jedoch nicht mit der Länge 23h 56’ 4,091″ eines mittleren Sterntages (Quelle: wiki) überein.
Die Abbildung skizziert die Bedeu­tung der Zeiteinheit „1 Sterntag” (rechte Seite der Abb.) sowie die Auswirkung eines Unterschieds zwischen Rotationszeit der Erde (= 1 Sterntag) und der (doppelten) Umlaufzeit eines Satelliten.

Rechnerei für GPS-Ortung

Freundlicherweise sind für das ureigene GPS-Ortungsverfahren die Umlaufzeiten der Satelliten nicht von Bedeutung (man mag’s vielleicht nur gern wissen). Die Ortung, d. h. die Bestimmung der Ortskoordinaten eines GPS-Empfängers, erfolgt durch eine »exakte Messung der Signallaufzeiten zwischen Satellit und Erdoberfläche«, so wird es u. a hier behauptet. Im oben schon genannten Wikipedia-Beitrag liest sich das so: »Aus den Signallaufzeiten können spezielle GPS-Empfänger dann ihre eigene Position und Geschwindigkeit berechnen« (Quelle: wiki).
Das ist höchst unwahrscheinlich, vielleicht sogar – gelinde(!) gesagt – Unfug. Woher weiß ein Satellit, daß zum Zeitpunkt tX auf der Erde ein Meßprozeß startet, der herausfinden soll, wann ein Triggersignal, das bei tX die Sendeantenne des Satelliten verläßt, auf der Erde ankommt? Nein! Der GPS-Empfänger „hört” Radiosignale, nämlich das Gemisch der mindestens vier sichtbaren Satelliten, deren jeder in zügigem Takt Informationen über seine Bordzeit und seinen aktuellen Standort sendet. Die Information über Signallaufzeiten kann nicht empfangen werden, weil sie gar nicht gesendet werden kann. Das wäre anders, wenn der GPS-Empfänger aktiv die Satelliten antriggern würde, tut er aber nicht.
Mathematisch stellt es sich so dar, daß der GPS-Empfänger neben Ortsangaben auch Zeitangaben, wann ein Signal(paket) abgesetzt worden ist, ausliest und daraus seinen Ort errechnet. Er könnte, wenn er selbst über eine Atomuhr verfügte, die empfangenen Zeitangaben mit der eigenen Bordzeit vergleichen, um auf Laufzeiten zu schließen. Allerdings ist dieser technische Aufwand gar nicht erforderlich! Aufgrund der Art, wie sich Radiowellen ausbreiten, nämlich als Kugelwellen, erfolgt die Ermittlung der Orts­koordinaten eines GPS-Empfängers (ab hier Beobachter B genannt) über das Gleichsetzen von Kugelgleichungen, da sich der Beobachter mit einer GPS-Messung zugleich in jeder der einzelnen Kugelflächen befindet, in deren Mittelpunkt sich jeweils ein Satellit befindet:GPS_Formel1Da sich der Mittelpunkt der (noch nicht näher bekannten) Kugel im Satelliten befindet, tauchen die Satellitenkoordinaten in der sogenannten Mittelpunktsgleichung auf (Index S). Die Zeit LzS ist die Laufzeit des Signals vom Satelliten bis zum Beobachter, dieser Wert ist nicht bekannt. Bekannt ist die Zeitangabe tS, die dem Empfänger mitteilt, wann das Signal beim betreffenden Satelliten abgesetzt wurde: tn = tX - Lzn. Während sich tn auf die Messung im GPS-Empfänger bezieht, ist tX eine unbekannte Zeit, zu der ein beliebiger Satellit sein Informationspaket gesendet hatte, das nach der Laufzeit Lzn am Empfänger ankam. Umgestellt ist Lzn = tX - tn. Durch Differenzenbildung  Lzn - Lz0 = -(tn - t0) wird das unbekannte tX eliminiert. Ausformuliert ergibt sich ein System von drei GleichungenGPS_Formel2wobei ein Satellit (hier mit dem Index 0) als Referenz dient. Die unbekannten Größen, hier farblich hervorgehoben, sind die (kartesischen) Koordinaten des gesuchten Beobachtungs­punktes. Alle anderen Größen (xn, yn, zn, tn) sind während eines GPS-Ortungsvorganges von den Satelliten 0 bis 3 empfangen worden, c ist die Lichtgeschwindigkeit.
Ein solches Gleichungssystem ist nicht gerade simpel, aber eindeutig lösbar (3 Gleichungen und 3 Unbekannte). Signallauf­zeiten werden für die Ortsbestimmung nicht benötigt, ja nicht einmal eine eigene Borduhr im GPS-Empfänger.

Meßungenauigkeiten bei der GPS-Ortung

Ein erheblicher Anteil der Meßgenauigkeit liegt in der Genauigkeit der Angaben für die Zeitdifferenzen t1 - t0 … t3 - t0.GPS_Bild1 Die nebenstehende Abbildung illustriert den Einfluß der Nachkommastellen auf die Unsicherheit der Ortsbe­stimmung. Sind die Zeitdiffe­renzen nicht genauer als 1o-7 Sekunden (also 0,1 µs) ermit­telbar, können tatsächlicher und ermittelter Ort bereits knapp 40 m voneinander abweichen. Gründe für die Unsicherheit der Δt-Messungen sind praktisch in jedem Beitrag, der sich mit GPS befaßt, aufgelistet. Mit besonderer Verve wird auf relativistische Effekte verwiesen: da in zwanzigtausend Kilometern Entfernung von der Erde das Gravitationsfeld schon deutlich geringer als auf der Erdoberfläche ist, muß die Allgemeine Relativitätstheorie ihre Finger im Spiel haben, und da sich die GPS-Satelliten mit einer Bahngeschwindigkeit von etwa 3,9 km/s bewegen, auch die Spezielle noch dazu.
Obwohl für eine GPS-Ortung ein Uhrenvergleich zwischen Satellitenuhren und Borduhr des Empfängers nicht stattfindet (da es keine Borduhr für die Ortsbestimmung braucht), spielt die Relativitätstheorie eine Rolle, da das Zeitsignal, das der informationstragenden Radiowelle aufgeprägt ist, vom Takt abhängt, mit dem die Atomuhren in den Satelliten ticken. Die Geschwindigkeit, mit der diese Information übertragen wird, ist bedeutungslos (sie verringert sich ohnehin beim Eintritt in die Erdatmosphäre), mithin auch die Laufzeit des Signals. Aber es macht einen erheblichen Unterschied, ob zehn oder elf Wellenlängen der Trägerwelle benötigt werden, um Δt=10-8s zu „verpacken”.
Andere Effekte, die die Angaben zu den Eigenkoordinaten der Satelliten beeinflussen müßten, werden seltsamerweise kaum genannt: unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten aufgrund der Elliptizität der Satellitenbahnen oder der Gravitationseinfluß des Mondes und der Sonne.

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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6 Antworten zu GPS-Ortung

  1. knipserei schreibt:

    Nach dem zweiten Absatz habe ich genau noch 0 (= Null) verstanden. ABER: Da gibt es ein Problem / Fragestellung und jemand, also Du, der darauf antwortet. Jetzt kann ich nicht beurteilen, ob Deine Antwort richtig oder halbrichtig oder was auch immer ist. ABER: Ich habe gerade das gute Gefühl, dass es Menschen gibt, die um fundierte Antworten bemüht sind, und nicht nur irgendwelchen Meinungen folgen.

    • ausgesucht schreibt:

      Das Gefühl, daß ich fundierte Antworten irgendwelchen Meinungen vorziehe, trügt nicht. Es gefällt mir, daß das bei Dir ein gutes Gefühl auslöst…

  2. YDU schreibt:

    Was die Ortsbestimmung betrifft, gehe ich immer davon aus, dass ich bin, wo ich gerade bin. Vermutlich ein Ergebnis der absolutierten Relativitätstheorie. Mein Tempo: fast immer einen Deut zu schnell!

    • ausgesucht schreibt:

      Hat denn immer da zu sein, wo man gerade ist, nicht den unschönen Nachteil, nie dahin zu kommen, wo mal mal sein möchte, also nicht ist? *grübel*

  3. YDU schreibt:

    Nö, ich möchte immer da sein, wo ich gerade bin, das reicht mir vollständig! Ich bewege mich als Teil der Milchstraße, mit dem Planeten drehe ich auch meine Runden. Bin also ständig unterwegs!

    • ausgesucht schreibt:

      Dieses: „möchte immer da sein, wo ich gerade bin” imponiert mir. Aber ich schätze, das sehen viele, viele, viiiele Zeitgenossen ein wenig anders… ^_^

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