Ellipsenkonstruktion

Es war Chantao, der anläßlich des Artikels, in dem es bei Ellipsen um die Konstruktion von Tangenten ging, fragte, wie man Ellipsen mit dem Zirkel zeichnen könne.
Die Antwort ist ernüchternd: Ellipsen lassen sich mit einem (klassischen) Zirkel nicht zeichnen. Es ist zwar möglich, mit einem simplen Bindfaden und zwei Reißzwecken eine formvollendete Ellipse zu Papier zu bringen.Ellipse_Bild1 Aber ein Bindfaden ist nun einmal kein Zirkel. Und im streng geometrischen Sinn (= Konstruk­tion mit Zirkel und Lineal) ist diese Zeichen­vorschrift auch keine Konstruktion.
So leicht diese Zeichenvorschrift auch ein sehenswertes Ergebnis liefert, so kniffelig ist auch die Herleitung, warum die Gärtner­methode (vgl. Abb.) überhaupt funktioniert. Wer sich den Tort antun möchte, kann eine Begründung hier nachlesen.
Auf der Gärtnermethode beruht eine Konstruktionsvorschrift, die im klassischen Sinn nur Zirkel und Lineal verwendet. Bei dieser Art des Zeichnens werden einzelne Werte für r1 (vgl. Abb. oben) verwendet, um einzelne Punkte der Ellipsenperipherie zu konstruieren. Ellipse_Bild2Bis dahin handelt es sich um ein exaktes Konstruieren. Lediglich wenn die Punkte irgendwie verbunden werden, um ein vollendetes Ellipsenrund zu erzeugen, wird aus dem Konstruieren ein Zeichnen (locker aus dem Handgelenk und/oder mit freundlicher Unterstützung eines Kurvenlineals).
Die Abbildung zeigt, wie die Strecke zwischen einem Brennpunkt (hier F1) und dem Mittelpunkt der Ellipse willkürlich in Teilstrecken geteilt werden kann (hier durch die Punkte T1 bis T5, wobei T5 = M gewählt wurde). Diese Hilfspunkte werden benötigt, um pro Ellipsenpunkt die beiden Kreisbögen zu finden, die ihn nach der Gärtnermethode zu konstruieren erlauben. Der Rest ist Fleißarbeit.

Peripherie einer Ellipse mit dem Zirkel zeichnen…

Nun ist es irgendwie unbefriedigend, nach der sorgfältigen Konstruktion von Ellipsenpunkten im Resultat denn doch nur eine mehr oder weniger saubere Ellipse vorweisen zu können. Deshalb haben findige Köpfe eine Näherungsmethode ersonnen, in der die Peripherie der Ellipse_Bild5Ellipse mit dem Zirkel gezeichnet werden kann. Allerdings handelt es sich um eine Näherungs­methode. Die Kreisbögen, die den Verlauf der Ellipse näherungsweise nachbilden, basieren auf sogenannten Schmiegekreisen, die sich jeweils in den Haupt- und Nebenscheiteln ideal an die tatsächliche Ellipsenform anschmiegen.
Die Abbildung illustriert das Verfahren: es braucht eine Sekante zwischen einem Haupt- und einem Nebenscheitel und es braucht eine Normale zu dieser Sekante, die gerade durch den Eckpunkt des umschreibenden Rechtecks verläuft, und schon hat man die Mittelpunkte für die zweimal 2 Kreisbögen, die eine Ellipse näherungsweise nachzeichnen (das Wie und das Warum sind etwas ausführlicher hier beschrieben).
Die Näherungsmethode ist schnell und recht elegant, aber sie erzeugt diese 4 Sprünge im Ellipsenumfang. Was wäre aber, wenn der Radius der Schmiegekreise für die beiden Nebenscheitel geringfügig kleiner gewählt würde? Dann handelt es sich zwar um keine Schmiegekreise mehr, aber die störenden Absätze wären vermeidbar. Zumindest wären sie es, wenn es gelingen würde, vom Punkt B (vgl. Abb. oben) einen Tangentenkreis an den Schmiegekreis für A zu konstruieren. Ellipse_Bild4Die nebenstehende Abbildung illustriert das geometrische „Problem”: gegeben sind eine Gerade g und auf ihr ein Punkt P; gegeben ist ferner ein Kreis k (d. h. sein Mittelpunkt M (M ∉ g) und sein Radius r (|MP| > r)). Während es eine Grund­konstruktion ist, eine Tangente (also eine Tangenten-Gerade) an den Kreis zu zirkeln, ist ein ähnliches Unterfangen für einen Kreis, dessen Mittelpunkt irgendwo auf g liegen soll, alles andere als trivial. Gesucht ist ein Kreis, der den gegebenen Kreis in genau einem Punkt (wie halt die Tangente auch) berührt. Zudem sollen in diesem Punkt die Vorzeichen der Krümmungs­radien (also r des gegebenen Kreises und gesuchter Radius des Tangentenkreises) gleich sein, also nicht „konvex” auf „konkav” treffen (wie beim „kleinen” Kreis in der Skizze).

Für die Ellipse (nämlich die ursprüngliche Aufgabenstellung) lassen sich folgenden Kreisgleichungen aufschreiben: Ellipse_Formel1Darin sind rA und rB die Radien der Schmiegekreise, die aus dem oben erwähnten Näherungsverfahren (und speziell aus der PDF-Datei mit der Begründung des Verfahrens) bekannt sind. Die Koordinaten x und y des Punktes, an dem sich der Tangentenkreis (obere Gleichung) mit dem Schmiegekreis des Hauptscheitels A berühren, sind ebenso unbekannt wie der Radius rT des Tangentenkreises. Da im Berührungspunkt auch die Anstiege – so wie es sich für Tangenten gehört – gleich sein sollen, müssen für die Ableitungen die folgenden Gleichungen gelten: Ellipse_Formel2Nach dem Umstellen ergibt sich ein (leider) nicht lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen für 3 Unbekannte: Ellipse_Formel3Es dauert etwas länger als die Zeit zwischen dem ersten und dem zweiten Frühstück, um dieses Gleichungssystem zu lösen. Aber es ist lösbar. Die nachfolgende Abbildung illustriert eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Lösung. Ellipse_Bild3

  1. gegeben sind von der zu konstruierenden Ellipsen­näherung große Halbachse a und kleine Halbachse b
  2. im Rechteck, das die gesuchte Ellipse um­schreibt, werden die Schmiegekreise (Radien rA und rB) nach der „klassi­schen” Methode (siehe oben) konstruiert; es entstehen MA, MB, M‘A und die Hilfsgerade h1
  3. Hilfsgerade hBC durch die beiden Punkte B und C
  4. Hilfspunkt A‘ entsteht als Schnittpunkt des Kreises mit dem Radius b um den Punkt C mit hBC (die Strecke BA‘ hat die Länge a+b); der Punkt MBA‘ ist der Mittelpunkt der Strecke BA‘
  5. Hilfsgerade hBM durch die beiden Punkte B und M
  6. der Hilfspunkt M‘ entsteht als Schnittpunkt von hBM und dem Kreis um B, der hBC im Punkt MBA‘ schneidet (vgl. 4.)
  7. Kreisbogen um die Mitte (hier nicht gezeichnet) der Punkte MB (vgl. 2.) und M‘; der Schnittpunkt mit hBC liefert den Punkt D
  8. die Gerade durch die Punkte D und M‘A (vgl. 2.) schneidet hBM im Punkt M‘B; dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Tangentenkreises durch den Punkt B zum Schmiegekreis des Hauptscheitels A
  9. der Kreisbogen, der die Ellipse in der Nähe des Nebenscheitels (hier: Punkt B) abbildet, wird um den Mittelpunkt M‘B herum von Hilfslinie M‘AM‘B zu Hilfslinie M‘BMA gezogen; der Schmiegebogen zum Scheitel A analog zwischen den Hilfslinie in der Nachbarschaft von A, also M‘BMA und M“BMA (M“B ist das (hier nicht gezeigte) Spiegelbild von M‘B bei Spiegelung am Punkt M)
  10. durch Ausnutzung (analog zur „klassischen” Näherungszeichnung) der Symmetrie­verhältnisse einer Ellipse führen zwei große  und zwei kleine Kreisbögen zu einer geschlossenen Kurve ohne Sprung oder Knick, die zum einen mit Zirkel und Lineal konstruierbar(!) und zum anderen eine Ellipsennäherung ist (in der obigen Skizze ist wegen der Übersichtlichkeit nur eine Halbellipse ausgeführt)

Die mit obigem Verfahren konstruierte Form entspricht der Form, die z.B.  hier bei youtube als Anleitung zu sehen ist. Der Unterschied ist, daß dort die Ellipsenparameter a und b nicht vorgegeben sind, sondern sich diese Werte erst im Resultat ergeben. Im Gegensatz dazu erlaubt das hier vorgestellte Verfahren, für einen vorgegebenen Parametersatz a und b die „passende” Näherungsform der Ellipse zu konstruieren.

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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8 Antworten zu Ellipsenkonstruktion

  1. Ich war noch nie ein Freund von Annäherungstechniken, wahrscheinlich weil es mir darauf ankam, exakt zu sein. Die Annäherung durch Quadrate an die Fläche eines Kreises beispielsweise hat mich schon in der Schule befremdet. Man kann sich mit kleinen oder großen Schritten einem Ziel nähern, aber doch nicht mit Quadraten einem Kreis: Das ist, als ob man versuchen wollte, sich durch das Vermengen diverser Kekse einem Kuchen oder gar einer Torte anzunähern!
    Ellipsen gehören im übrigen neben Kreisen zu meinen bevorzugten geometrischen Figuren: Manchmal frage ich mich, ob sich dies in meiner Lyrik ausdrückt, wiewohl ich ja das stylistische Mittel der Ellipse kaum benutze. Trivialerweise dreht sich aber doch letztlich alles im Kreise, und da hätten wir nun wieder eine Annäherung gefunden. Fragt sich nur, ob und inwiefern es sich dabei um eine Annäherungstechnik handele. Womöglich ist das alles bloß elliptische Konstruktion!

    • ausgesucht schreibt:

      Vollendet formuliert – ich möcht’s jetzt nicht kaputtreden, einfach nur danken. Vollendet formuliert, also in einem Gedankenlauf, der ohne Sprünge auf sich selbst zurück kommt, also „elliptisch” ist (ohne eineEllipse zu sein), oder gar vollendet kreisförmig (als die harmonischste aller Ellipsen)?

  2. Chantao schreibt:

    Da ich Mathematik als Leistungsfach im Gym wählte, weil ich während meiner Kindheit und beginnender Jugend Mathematik als interessante Kurzweil betrachtete, erschöpfte mich die Integralrechnung. Und, nun, als zwar als intelligent eingeschätzen Schüler langweilten mich gewisse andere Lehrfächer und ich musste doch beim Abitur in die Mündliche, hoppla, und was ich bis dato einfach nie begreifen wollte: ich musste den Grenzwertsatz an der Tafel referieren; während die Pauker bereits hohe Wetten auf meine Niederlage abgeschlossen hatten war für mich die Tafel zu wenig und ich musste die umliegenden Wände mit einbeziehen. Wie das Kind in der Traubenzuckerwerbung.

    Ähnlich erging es schulischen Wänden, als ich bei der mündlichen Prüfung bei MTNE als Prozeßleitelektroniker über eine Reihenmessung geprüft wurde: Etwas, was sich mir nie zu Standart-Lehrstunden erschloss, unter Druck kam die Erleuchtung … der Taoist war geboren, doch noch kaum selbst bewußt. Der Grenzwertsatz als Koan hahaaa

    Was Näherungen betrifft: So fand ich seinerzeit toll eine Wurzel ohne Taschenrechner oder Formelbuch zu ermitteln, rein durch Mathematik der ersten Ebene, also einfach nur ausrechnen in 2 bis 3 Schritten. Und Gärtner-Methode hätte ich jetzt wirklich gedacht: Gartenblumen in elliptischem Beete. 😉

    • ausgesucht schreibt:

      … ohne Zweifel eine beeindruckende Vita. Vor allem der Interessenkonflikt beim Ehrgeiz, einerseits die Pauker wider alle Erwartung mit Erfolg zu überraschen und andererseits den Hausmeister. *chchch*

      Ach übrigens: die Zeichenmethode leitet sich tatsächlich von den Gärtnern, also wirklich von elliptischen Blumenbeeten, ab und nicht von Joseph Gärtner, oder war’s Franz G.? ^_^

  3. Chantao schreibt:

    MTNE (wer’s nicht weiß): Meßtechnik nicht elektrischer Größen. Quasi Physik uam.

  4. Chantao schreibt:

    Nun, bei dem Lehrfach der Meß- und Regeltechnik wurde es halt so benannt.

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