Gravitationskonstante

Gut möglich, daß Computer in naher Zukunft Turing-Tests mit Bravour bestehen werden (siehe hier oder hier), indem sie mit schierer Speicherkapazität und brute force Häufungen bestimmter Begriffe in Mind-Maps identifizieren und so tun, als könnten sie assozieren. Derartige Mind-Maps können in Zwitscher- und Blogportalen durch Textanalyse praktisch unbegrenzt erstellt werden.
Und doch fragt sich, ob ein solches Assoziations-Mimikry-Programm inspiriert sein kann, also in der Lage sein, Ideen zu entwickeln, die aus dem allerorts publizierten Konsens herausragen. Ob es einem solchen Programm möglich ist, aus drei Texten – beispielsweise diesen hier: Text 1, Text 2 & Text 3 – eine bislang noch nicht (bzw. so noch nicht) publizierte Idee zu entwickeln, nämlich die Idee, die Gravitationskonstante γ mit der Uhr zu messen.

Gravitationskräfte kosmischer Objekte

MondBahn_dWird ein kosmisches Objekt von einem anderen (auf einer Ellipsenbahn) umkreist, genügt es in vielen Fällen, die Umlaufzeit T und die große Halbachse der Umlaufbahn zu vermessen, um damit auf die Masse M des kosmischen Objektes zu schließen. Genaugenommen läßt sich aber nur auf γ·M schließen. Lediglich wenn γ separat, z. B. durch Messungen auf der Erde, ermittelt worden ist, kann M ausgerechnet werden.
Und wie bestimmt man γ auf der Erde? Die Auswertung von Fallexperimenten bringt’s nicht. Zwar ist wegen s(t) = ½ g t² +v0·t + s0 die Fallbeschleunigung g ermittelbar, aber diese hängt wegen g = (γ·M)/r² auch vom Produkt γ·M und nicht von γ oder M allein ab.Pendel_01Ähnliche Situation bei Pendel­experi­menten: zwar kann durch die Messung der Schwingungsdauer auf ω und damit auf g geschlossen werden, aber auch hier führt die Fallbeschleunigung lediglich auf das Produkt γ·M und nicht auf γ oder M allein.
Um γ isoliert zu ermitteln, bringt man definierte Massen in definierte Abstände (vgl. Gravitations­waage) und schließt mittels GravitationsgesetzFormel_Gravi
auf die gesuchte Größe γ.

Torsionswaage

Prinzipiell kann obiger Versuchsaufbau verändert werden, indem zusätzliche Massen auf den Pendelkörper einwirken. Da aber die gravitative Wirkung erfahrungsgemäß sehr gering gegenüber der Erdanziehung ausfällt, ist es mit Blick auf die Meßempfindlichkeit sinnvoller, ein Doppelpendel zu verwenden. Dieses soll nicht vertikalPendel_02, sondern horizontal schwingen: an einem Draht der Länge l hängt der waagerechte Waagbalken (Länge 2·L), an dessen Enden sich zwei Kugeln jeweils der Masse m befinden.
Die Elastizität des Torsionsdrahtes wirkt wie eine Feder, die dem Waagbalken Drehschwingungen erlauben. Luftwider­stand und Reibung führen zu einer Dämpfung der Drehschwingung.

Freundlicherweise lassen sich die Para­meter k (Torsion) und ρ (Reibung) aus dem Schwingungsverhalten errechnen. Dafür werden die Zeitpunkte ta und tb zweier aufeinanderfolgender Nulldurchgänge sowie für zwei aufeinanderfolgende Maximal­ausschläge (mit jeweils gleichem Vorzeichen von φ) die Amplituden φc und φd und die zugehörigen Pendel_03Zeiten tc und td benötigt.
Nach der empirischen Bestimmung von λ und ω durch Zeitmessungen (Abb. rechts) erlauben die obigen Formeln (vgl. Abb.) das Berechnen von ρ = 2·λ·J und k = J·(λ² +ω²).

 

Gravitation mit Stoppuhr messen

Wird der obige Versuchsaufbau erweitert, indem die Kugelmassen m an den Enden des Drehbalkens durch vier baugleiche Kugelmassen M gravitativ beeinflußt werden, die sich in der Schwingungsebene des Torsionspendels befinden, ergibt sich eine Drehwaage zur Messung Pendel_04der Gravitationskonstanten γ. Durch die acht Gravitations­wechselwirkungen (je zwei Massen m werden von jeweils 4 Massen M beeinflußt) erweitert sich die Differentialgleichung um den Gravitationsanteil DGravi(φ).
Die einzelnen Komponenten von DGravi lassen sich über das Gravitationsgesetz (vgl. Formel oben) berechnen. Es ist lediglich zu beachten, daß es sich bei D um ein Drehmoment handelt, also die Kraftkomponente, die senkrecht zum Drehbalken steht, zu erfassen ist.Pendel_06

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Schwingungs­ebene des Torsionspendels und die geometrischen Parameter, die in die Berechnung einfließen.  Pendel_05
Die obige Abbildung skizziert für ein konkretes Beispiel von M, m, L und A die Funktion DGravi(φ).

Die für DGravi maßgeblichen Komponenten lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:Pendel_07Ähnlich, wie für das mathematische Pendel (vgl. Absatz „Gravitationskräfte kosmischer Objekte”) die etwas „unhandliche” Differentialgleichung für sehr kleine Auslenkwinkel φ algebraisch auswertbar wird, läßt sich auch hier verfahren: für kleine φ-Werte ergibt sich nämlich:Pendel_08Damit bleiben aber sowohl die Struktur der Differentialgleichung für eine Torsionswaage (vgl. Abb. im Absatz „Torsionswaage”) als auch des Bewegungsgesetzes φ(t) erhalten. Lediglich k wird um den Wert verringert, der als Faktor in der DGravi(φ)-Funktion vor φ steht. Mit anderen Worten: der gravitative Einfluß der 4 Zusatzmassen, die den Drehbalken der Torsionswaage „einrahmen”, verändern ω und damit auch die Schwingungsdauer T. In einer Meßreihe lassen sich für verschiedene Werte der Masse M jeweils die Werte für die Schwingungsdauer ermitteln; ΔT = T(M) - TM=0 ist eine lineare Funktion der Masse M. Zumindest für kleine Auslenkwinkel φ. Ob sie klein genug sind, läßt sich empirisch kontrollieren: Sie sind es nicht, wenn die Schwingungsdauer von der Amplitude der Schwingung abhängen sollte.

Pendel_09Das Diagramm zeigt für eine Meßserie, die zwar fiktiv, aber durchaus realitätsnah ist, die ΔT(M)-Funktion; der Anstieg beträgt 8,4370·10-6 [s/kg]. Aus solchen Anstiegen kann die Gravitationskonstante γ berechnet werden:Pendel_10

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Über ausgesucht

…desillusioniert
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34 Antworten zu Gravitationskonstante

  1. YDU schreibt:

    Klar bekommt so Programm das hin, muss ja nur bei dir ein wenig abkupfern …

    • ausgesucht schreibt:

      Upps, das wollte ich ja gerade verhindern! Warum sonst verfasse ich wohl sibyllinische Texte, die ich selbst kaum verstehe?? ^_^

      • YDU schreibt:

        Sorry, der obige Kommentar wurde von meinem Kommentarbeantwortungsgenerator der ersten Generation in der Betaphase verfasst! Diese Altlasten, wenn man sie nicht SOFORT entsorgt, kommen sie zu den ungünstigsten Zeitpunkten wieder zum Vorschein … DELETE – DELETE – DELETE und mit Nullen überschrieben! Aber grundsätzlich war der Ansatz ja doch erkennbar – Gott sei Dank!

  2. lawgunsandfreedom schreibt:

    Ich glaube mich zu erinnern, daß Messungen von γ an unterschiedlichen Orten auf der Erde auch unterschiedliche Ergebnisse erbrachten. Die waren zwar nur minimal, können aber bei den angewandten Größenordnungen zu signifikanten Fehlern führen.

    Aber was weiß ich schon? ^_^
    (Klug daherreden kann ich da sehr gut – ich fürchte, ich bediene gerade wieder den Dunning-Kruger-Effekt).

    • ausgesucht schreibt:

      Es ist tatsächlich so, daß die Fallbeschleunigung g an der Erdoberfläche unterschiedliche Werte je nach dem Meßort liefert, und das selbst, wenn die Meßergebnisse auf einen einheitlichen Abstand r0 von Erdmittelpunkt zur Erdoberfläche normiert werden (was allein schon wegen der Ellipsoidform, die genaugenommen eine Geoid-Form ist, erforderlich ist, von Gebirgen und Talsenken ganz zu schweigen). Da g = γ·mErde/r²0 ist, können Variationen in g nur von Variationen in γ herrühren. Bis hierher also nix Dunning-Kruger, sondern Allgemeinwissen, Interessiertheit und gutes Gedächtnis deinerseits…

      Allerdings gilt die g(γ, mErde, r0)-Formel nur für eine homogene Kugel. Und das ist die Erde als allerletztes, da z. B. Erdkruste und Magma unterschiedliche Dichten haben und ihrerseits recht heterogen verteilt sind. So ist es sinnvoller, die Varianzen in g auf Inhomogenitäten der Erdkugel zurückzuführen und nicht auf Variationen in γ. Und dieses Wissenspartikel ist eine winzige Pille gegen den Dunning-Kruger-Effekt, nicht wahr? ^_^

      • lawgunsandfreedom schreibt:

        Dankeschön! Ich werde mir diesen Wissenspartikel vergolden, in Kunstharz gießen und als Briefbeschwerer auf den Schreibtisch stellen. 😀

        • ausgesucht schreibt:

          … vielleicht sollte ich mal einen Artikel über den Auftrieb verfassen, damit die Briefe nicht so arg beschwert werden, die armen Dinger. ^_^

          • lawgunsandfreedom schreibt:

            Vielleicht sollte ich meine E-Mails ausdrucken, damit es überhaupt etwas zum beschweren gibt. Mein Pelikan Füllfederhalter ist längst eingetrocknet, fürchte ich. ^_^

            • ausgesucht schreibt:

              Ich wußte ja gar nicht, daß Pelikane auf der Roten Liste stehen. Stehen sie auch dann noch auf dieser Liste, wenn sie mit blauer Tinte gefüllt sind?? ^_^

              • lawgunsandfreedom schreibt:

                Hm – gute Frage. Normalerweise würde man einen Pelikan ja mit „Blue Tuna“ füttern. Ob das eine Sorte Tiefsee-Tinte ist? Wikipedia schweigt sich dazu leider aus.

                BTW: Auf die Rote Liste kommt man doch nur, wenn man sich rot anmalt, oder? Die Gattung „Rosapelikan“ scheint dran zu arbeiten.

              • ausgesucht schreibt:

                das nenne ich doch mal eine „Kausalkette der besonderen Art”: weil der Pelikan Blauflossen-Thunfisch frißt, kann der Füller, der für gewöhnlich mit blauer Tinte gefüllt wird, gar nicht anders als Pelecanus heißen, was Letzteren rote Zahlen schreiben läßt und Ersteren auf die Rote Liste setzt. ^_^

              • lawgunsandfreedom schreibt:

                Elegant aufgelöst ^_^

              • ausgesucht schreibt:

                Naja, Tante Wiki hat geholfen. ^^

              • lawgunsandfreedom schreibt:

                Geht heutzutage ja kaum noch was ohne die allwissende Müllhalde. Mein teures 12-bändiges Konversationslexikon habe ich bestimmt seit fast 20 Jahren nicht mehr angefasst.

              • ausgesucht schreibt:

                Da sagst Du was! Meine Lexika stehen wohl nur noch im Regal, weil ihr Entfernen zu einer Gravitationsanomalie führen könnte, fürchte ich. Muß doch gleich mal nachgucken, was für Konversationsvorschläge unter diesem Stichwort zu lesen sind… 🙂

              • lawgunsandfreedom schreibt:

                Ich habe 2 Luxusausgaben des Bertelsmann Universallexikons in 12 und 24 Bänden aus den späten 80ern und Anfang 2000 von meiner Mutter. Dazu einen „Großen Brockhaus“ … von Anfang 1900 … da stehen Sachen drin, die man in „modernen“ (oder doch modernden?) Lexika gar nicht mehr findet.

                Die gebundene Komplettsammlung von „Bild der Wissenschaft“ (Papa hatte die alle von der ersten Ausgabe an) musste ich entsorgen, nachdem eh keiner mehr reingesehen hat und selbst dreifach gelegte und verleimte Regalbretter sich durchgebogen haben. Keine örtliche Bibliothek – ja nicht mal die Uni-Bibliothek hatten Interesse daran.

                Dann steht hier noch ein „Meyers Konversationslexikon“ von 1896 rum. Höchst vergnüglich …

                Würden wir das zu Deinen Lexika stellen, dann erzeugten wir wohl eine Singularität. Die Leute im Cern würden staunen, was wir so ganz ohne supergekühlte Magnete hinkriegen.

              • ausgesucht schreibt:

                *chchch* … das mit der Singularität sollten wir bleibenlassen: wir könnten leicht sämtliche Modelle und Prognoserechnungen zur Plattentektonik über den Haufen werfen. Aber ein lustiges Experiment wär’s am Ende doch – in keinem der Lexika, vermute ich, steht etwas über den Effekt vermerkt, den wir mit ihnen erzeugen könnten. ^_^

              • lawgunsandfreedom schreibt:

                Plattentektonik? Was ist nur aus der guten alten Welteislehre geworden?

                Machen wir doch ein Experiment … so ganz kurz vor der Singularität, legen dann die Ergebnisse den Quantenphysikern vor und sehen zu wie ein paar Köpfe explodieren 😀

              • ausgesucht schreibt:

                *lol*
                Na, lieber nicht! So gemein kann man – bei aller Liebe! – nicht sein. ^_^

  3. alltagsfreak schreibt:

    In der Mittelstufe habe ich Mathematik und Physik nicht sonderlich geliebt. Lag wohl hauptsächlich an der Lehrerin. Während ich in der Fachschule und Fachoberschule es lieben lernte, ehe es mir mein Matheprofessor langsam wieder austrieb.:)

    • ausgesucht schreibt:

      Oh, das habe ich schon oft gehört, daß Ma & Ph echte „Buh”-Fächer sind. Schade eigentlich! Manchmal glaube ich, daß ein Mathelehrer oder -Prof wohl deshalb anderen den Spaß an der Mathematik austreiben, weil sie ihn selbst nicht haben/kennen, von Liebe zum Fach ganz zu schweigen… ^_^

    • YDU schreibt:

      Tja, immer diese Professoren/innen … 😉

  4. alltagsfreak schreibt:

    Meine damalige Mathe- (und leider auch Physiklehrerin) mochte es gar nicht, dass Merksätze (inhaltlich richtig) nur sinngemäß wieder gegeben worden – es mußte Wort für Wort sein. Durch die Eselsbrücke GAGA Hummel Hummel AG kann ich trigoneometrische Zusammenhänge herleiten usw. usf. Statistik hat mich sehr fasziniert über Abhängigkeiten von Umweltfaktoren z.B. auf Pflanzenwachstum zu schließen. Komischerweise lese ich hin und wieder Fachliteratur und beschäftige mich auch noch Jahre später mit Berechnungen, die ich früher nicht nachvollziehen konnte. Das hält das Gehirn munter Gerade Naturwissenschaften und Sprache sind das Wichtigste.:)

    • ausgesucht schreibt:

      … naja, nun: es sind halt Merk·sätze und keine Interpretations·sätze. ^_^

      Aber was das »später mit Berechnungen [beschäftigen], die ich früher nicht nachvollziehen konnte« angeht, neige ich zu der Vermutung, daß aus vielen Schülern trotz des Schulstoffs im Leben etwas wird… ^^

  5. YDU schreibt:

    Dein Ratingdaumen lässt sich nur einmal hochstrecken, wie soll ich nun meinen Dreifachrespekt ausdrücken? (Y) (Y) (Y) Daumen hoch, Daumen hoch, Daumen hoch

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