falsche Perspektive

Beim Zeichnen der 3-D-Skizze der Erdkugel für den Ulysses-Artikel bemerkte ich mit grenzenlosem Entsetzen, daß mein Mathelehrer ein wichtiges Detail zur Kavalier­perspektive seinerzeit offenbar zu vermitteln „vergessen” hatte: Kugeln liefern in dieser Projektionsart höchst absonderliche Darstellungen.
Und dann erinnert man sich (vielleicht) – da war was mit horizontalen Linien, die in Länge und Richtung unverändert bleiben, und senkrechten (Hilfs-)Linien, die in der Länge halbiert und mit einem 45°-Winkel abzutragen sind.kugel3d_01 Die Abbildung skizziert, wie aus einem Dreieck, das in Draufsicht vorliegt, das entsprechende Dreieck A’B’C‘ in perspektivischer Darstellung konstruiert werden kann.
Wie sieht die Konstruktion aus, wenn man es mit einem Kreis versucht? Prinzipiell nicht anders, nur braucht es wegen des gebogenen Kreisumfanges mehrere Peripheriepunkte, die nach Konstruktions­vorschrift transformiert werden. Den Rest erledigt ein Kurvenlineal oder ein geschicktes Händchen kugel3d_02im freihändigen Malen. Irgendwie scheint ein Kreis in Kavalierperspektive eine Ellipse zu sein. Recht unangenehm ist allerdings, daß die Ellipse in horizontaler Richtung breiter als der Ausgangskreis erscheint.
Die entstehende Figur als Ellipse nachzuweisen, ist nicht ganz trivial, zudem ist nicht uninteressant, wie große und kleine Halbachse der perspektivisch transformierten Ellipse mit dem Radius r des Ausgangskreises in Beziehung stehen.

Die Kavalierperspektive entspricht einer Transformationsvorschrift gemäß kugel3d_03 in der xy-Ebene.  Da die entstehende Figur (eine Ellipse, wie sich erst noch herausstellen soll) gegen die Grundlinie (hier: x-Achse) verdreht ist, ist eine weitere Transformation erforderlich, um ggf. eine Ellipse erst in die Mittelpunktslage zu drehen.kugel3d_04Wenn die aus den P-Punkten des Ausgangskreises transformierten Punkte P“ der perspek­tivisch verzerrten Figur auf einer Ellipse liegen, müssen ihre x“- und y“-Koordinaten einer Ellipsengleichung genügen. Die Koeffizienten cx, cxy und cy ergeben sich, wenn x“ und y“ gemäß der beiden Transformationsvorschriften ersetzt werden).kugel3d_05Da diese Gleichung für alle Ausgangspunkte P = (xp, yp)T gelten soll und diese auf der Peripherie eines Kreises liegen, mithin also eine Kreisgleichung erfüllt sein muß, ergibt sich folgendes Gleichungssystem.kugel3d_06Dieses Gleichungssystem [gemeint sind die unteren 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten A, B und φ] ist zugegebenermaßen nicht so recht appetitlich. Aber mit Hilfe der unteren beiden Gleichungen kann A/B [= Quotient aus großer und kleiner gesuchter Halbachse] eliminiert werden, es verbleibt eine Bestimmungsgleichung für den gesuchten Kippwinkel φ der Figur, die sich tatsächlich als Ellipse erweist, da das Gleichungssystem widerspruchsfrei lösbar ist.kugel3d_07Die Bestimmungsgleichung für φ [d. i. die mit tan4φ + … -1 = 0] kann vereinfacht werden zu: tan φ = √17 - 4, wodurch φ und zugleich A und B festgelegt sind.
Interessant ist, daß die in der Kavalierperspektive entstehende Ellipse immer um 7,02° gegenüber dem waagerechten Durchmesser des Ausgangskreises gekippt ist (der Radius des Ausgangskreises beeinflußt diesen Winkel nicht). Ebenso bemerkenswert ist, daß große und kleine Halbachse der entstehenden Ellipse immer mit denselben Faktoren aus dem Radius r hervorgehen.
Mit diesem Wissen läßt sich eine Kugel recht einfach in Kavalierperspektive darstellen. Sie wird gedanklich in Ebenen zerlegt, die parallel zur Äquatorebene verlaufen, wobei jede Schnittebene einen Breitenkreis repräsentiert.kugel3d_08Für jede der hier beispielhaft verwendeten 13 Breitenkreise kann nach der obigen Vorschrift die perspektivische Ellipse konstruiert werden. Ihre Anordnung in der Zeichenebene ist dadurch festgelegt, daß einerseits die Ellipsenmittelpunkte sich auf einer senkrechten Linie befinden müssen (wie es die Kreismittelpunkte in der Hilfsfigur links auch tun) und sie andererseits auf den Höhenlinien liegen, die die Breitenkreise in der Hilfsfigur besitzen.
Als Besonderheit ergibt sich, daß die Figur, die die aufgeschichteten Ellipsen umhüllt, kein Kreis ist, wie man es für die räumliche Ansicht einer Kugel erwarten würde. Es ergibt sich als Hüllkurve ihrerseits eine Ellipse (deren Halbachsen AH und BH und der Radius R der abzubildenden Kugel verhalten sich wie AH : BH : R ≈ 10 : 9,2 : 9; die Große Halbachse verläuft unter einem Winkel von 45° von links-unten nach rechts-oben). Diese einhüllende Ellipse ist beinahe kreisförmig (wie der gestrichelte Hilfskreis in der obigen Abbildung illustriert), aber eben nur beinahe. Und das beweist, daß eine Kugel in Kavalierperspektive letzten Endes unschön verzerrt erscheint.

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8 Antworten zu falsche Perspektive

  1. alphachamber schreibt:

    Ziemlich Eindrucksvoll!

  2. lawgunsandfreedom schreibt:

    Entzückend. Wie üblich kann ich mit den Formeln selbst nichts anfangen. Aber die geometrischen Ergebnisse und Regeln sind mir bekannt und auch schlüssig.

    • ausgesucht schreibt:

      Nix mit Formeln?! Das hätte ich wissen müssen, da hätte ich doch glatt im Formeleditor den Zufallsgenerator angeworfen (= immense Zeitersparnis!). 🙂

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